Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

56
Решение. Запишем данную функцию в неявном виде
()
zyxyxyxzyxF −+−+−= 22;;
22
. Найдём
()
1122 −=−−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
M
M
yx
x
F
,
()
2222 =++−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
M
M
yx
y
F
,
1−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
M
z
F
.
Уравнение касательной плоскости:
(
)()
(
)
0112211
=
−
⋅−−⋅
+
−
⋅
−
zyx
⇒
022
=
−−+− zy
x
.
Уравнение нормали:
.
1
1
2
1
1
1
−
−
=
−
=
−
−
z
y
x
4.2. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала
Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное
приращение этой функции:
),(),( y
x
f
yy
x
x
f
z
−
Δ
+
Δ
+
=
Δ
,
zy
x
f
yy
x
x
f
+
=
+
+
),(),(
Если подставить в эту формулу выражение
y
y
f
x
x
f
dzz Δ
∂
∂
+Δ
∂
∂
=≈Δ
, то полу-
чим приближенную формулу:
y
y
yxf
x
x
yxf
yxfyyxxf Δ
∂
∂
+Δ
∂
∂
+≈Δ+Δ+
),(),(
),(),(
Пример. Вычислить приближенно значение 02,1ln04,1
99,1
+ , исходя из
значения функции
zxu
y
ln+= при x = 1, y = 2, z = 1.
Решение. Из заданного выражения определим
Δ
x = 1,04 – 1 = 0,04,
Δ
y =
1,99 – 2 = -0,01,
Δ
z = 1,02 – 1 = 0,02.
Найдем значение функции u(x, y, z) =
11ln1
2
=
+
. Находим частные про-
изводные:
1
12
12
ln2
1
=
⋅
=
+
⋅
=
∂
∂
−
zx
xy
x
u
y
y
; 0
ln2
ln
=
+
=
∂
∂
zx
xx
y
u
y
y
;
2
1
ln2
1
=
+
=
∂
∂
zx
z
z
u
y
Полный дифференциал функции u равен:
05,001,004,002,0
2
1
01,0004,0102,001,004,0 =+=⋅+⋅−⋅=
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅−
∂
∂
⋅=
z
u
y
u
x
u
du
02,1ln04,1
99,1
+
05,105,01)1,2,1(
=
+
=
+
≈ duu 
Решение. Запишем данную функцию в неявном виде
                                                        ⎛ ∂F ⎞
F ( x; y; z ) = x 2 − 2 xy + y 2 − x + 2 y − z . Найдём ⎜ ⎟ = (2 x − 2 y − 1)M = −1 ,
                                                        ⎝ ∂x ⎠ M
⎛ ∂F ⎞                                ⎛ ∂F ⎞
⎜⎜    ⎟⎟ = (− 2 x + 2 y + 2 ) M = 2 , ⎜    ⎟ = −1 .
 ⎝ ∂y  ⎠M                             ⎝ ∂z ⎠M

      Уравнение касательной плоскости: − 1 ⋅ ( x − 1) + 2 ⋅ ( y − 2 ) − 1 ⋅ ( z − 1) = 0
⇒ − x + 2y − z − 2 = 0.
                                      x −1 y −1 z −1
      Уравнение нормали:                  =    =     .
                                       −1    2   −1
      4.2. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала

      Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное
приращение этой функции: Δz = f ( x + Δx, y + Δy ) − f ( x, y ) ,
                                       f ( x + Δx, y + Δy ) = f ( x, y ) + Δz
                                                                                ∂f     ∂f
      Если подставить в эту формулу выражение Δz ≈ dz =                            Δx + Δy , то полу-
                                                                                ∂x     ∂y

                                                                         ∂f ( x, y )      ∂f ( x, y )
чим приближенную формулу: f ( x + Δx, y + Δy ) ≈ f ( x, y ) +                        Δx +             Δy
                                                                            ∂x               ∂y

      Пример. Вычислить приближенно значение                              1,041,99 + ln 1,02 , исходя из

значения функции u = x y + ln z при x = 1, y = 2, z = 1.
      Решение. Из заданного выражения определим Δx = 1,04 – 1 = 0,04, Δy =
1,99 – 2 = -0,01, Δz = 1,02 – 1 = 0,02.

      Найдем значение функции u(x, y, z) = 12 + ln1 = 1. Находим частные про-
                                                                                    1
                             y −1
             ∂u   y⋅x       2 ⋅1                 ∂u   x ln xy
                                                                             ∂u      z      1
изводные:       =         =      = 1;               =            = 0;           =         =
             ∂x 2 x + ln z 2 1
                   y                             ∂y 2 x y + ln z             ∂z 2 x + ln z 2
                                                                                   y



      Полный дифференциал функции u равен:
                     ∂u          ∂u          ∂u                        1
       du = 0,04 ⋅      − 0,01 ⋅    + 0,02 ⋅    = 1 ⋅ 0,04 − 0 ⋅ 0,01 + ⋅ 0,02 = 0,04 + 0,01 = 0,05
                     ∂x          ∂y          ∂z                        2

        1,041,99 + ln 1,02 ≈ u (1,2,1) + du = 1 + 0,05 = 1,05

                                                     56

Страницы