Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 59 стр.

      Найдём значения вторых производных в точке М(1; 2):
            ∂2z         ∂2z      ∂2z                          2
       A=            ,       ,
                   =2 C= 2 =2 B=     = 1 . Тогда D = A ⋅ C − B = 3 > 0 . Так как
            ∂x 2               ∂y             ∂x∂y

A > 0 , то в точке М(1; 2) функция имеет минимум z min = −7 .
                                                                         x3
      Пример 2. Исследовать на экстремум функцию                            + 2 y 2 − z 2 x + z = 0 , за-
                                                                         3
данную неявно.
      Решение. Схема исследований та же, только все параметры задачи надо
определить по методам функций, заданных неявно.
                                                                x3
1.    Найдём критические точки. Пусть f ( x; y; z ) =              + 2 y 2 − z 2 x + z , тогда
                                                                3

⎧ ∂f    2   2
⎪ ∂x = x − z ,    ⎧          2      2         ⎧
⎪                    ∂z    x   −  z           ⎪ x = z, x = − z,
                  ⎪     =−            = 0,
⎪ ∂f                                          ⎪
⎨ = 4 y,       ⇒ ⎪⎨ ∂x     − 2 zx + 1      ⇒ ⎪⎨ y = 0,
⎪ ∂y              ⎪ ∂z = −      y
                                      =0
                                              ⎪ x3
⎪ ∂f              ⎪⎩ ∂y                       ⎪ + 2 y 2 − z 2 x + z = 0.
                           − 2 zx + 1         ⎪⎩ 3
⎪ = −2 xz + 1
⎩ ∂z
      В третьей системе присоединяем данное уравнение. Решением системы
                                           3              3                                  ∂f
являются точки М 1(0; 0) , М 2(              ; 0) , М 3(− ; 0) . Если М 1(0; 0) , то z = 0 ,    =0
                                           2              2                                  ∂z
следовательно, уравнение в этой точке не определяет однозначную функцию и
эта точка не подлежит исследованию.
2.    Для проверки достаточных условий найдём вторые частные производные
по правилам дифференцирования неявных функций:

     ∂2z           2x            ∂2z       ∂2z
                                             1
А= 2 =−          , B=      =−          ,C=      = 0.
  ∂x    1 − 2x 2      ∂y 2    1 − 2x 2     ∂x∂y

                        3              3              1
      При М 2(            ; 0) : A =     , B = 0 , C = . D = A ⋅ C − B 2 > 0 , т.к. A > 0 ⇒ в
                        2              2              2

              3
точке М 2(      ; 0) - минимум.
              2



                                                     58