Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

59
При )0;
2
3
(
3
−М :
2
3
−=A
, 0
=
B
,
2
1
=C . 0
2
<−
⋅
=
B
C
A
D
⇒ в точке
)0;
2
3
(
3
−М - экстремума нет.
Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в
функцию u = f(x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое со-
отношение
ϕ
(х, у) = 0, которое называется уравнением связи. Отыскание ус-
ловного экстремума можно свести к исследованию на обычный экстремум так
называемой
функцией Лагранжа
9
u = f(x, y) +
λϕ
(x,y), где
λ
- неопределённый
постоянный множитель. Необходимые условия экстремума функции Лагранжа
имеют вид
()
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
∂
∂
=
∂
∂
.0,
,0
,0
yx
y
u
x
u
ϕ
Замечание.
Если вторые частные производные не содержат
λ
, то
процесс нахождения условного экстремума вырождается в процесс нахождения
локального (абсолютного) экстремума функции
(
)
yxfz ,
=
− что не приемле-
мо. Тогда для исследования на экстремум в полученных критических точках
вычисляем значение
)
)
()()()
() ()
000000
000000
0000
;);(;
;;;
;;0
λλλϕ
λλλϕ
λϕλϕ
MuMuM
MuMuM
MM
yyxyy
xyxxx
yx
′′′′′
′′′′′
′′
−=Δ .
Если 0>Δ , то функция
(
)
yxfz ,
=
в точке
0
M имеет условный минимум;
если 0<Δ - то условный максимум.
Пример 1. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи:
2x + 3y – 5 = 0.
Решение. Составим функцию Лагранжа )532( −+
+
=
y
x
xy
u
λ
.
9
Лагранж Жозеф Луи (1736-1813) – французский математик и механик, член Берлинской академии наук (1759),
Парижской академии наук (1772), почётный член Петербургской академии наук (1776), родился и получил
высшее образование в Турине (Италия). 
                      3              3              1
        При М 3(−       ; 0) : A = −   , B = 0 , C = . D = A ⋅ C − B 2 < 0 ⇒ в точке
                      2              2              2
        3
М 3(−     ; 0) - экстремума нет.
        2

        Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в
функцию u = f(x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое со-
отношение ϕ(х, у) = 0, которое называется уравнением связи. Отыскание ус-
ловного экстремума можно свести к исследованию на обычный экстремум так
называемой функцией Лагранжа9 u = f(x, y) + λϕ(x,y), где λ - неопределённый
постоянный множитель. Необходимые условия экстремума функции Лагранжа
          ⎧ ∂u
          ⎪ ∂x = 0,
          ⎪
          ⎪ ∂u
имеют вид ⎨ = 0,
          ⎪ ∂y
          ⎪ϕ ( x, y ) = 0.
          ⎪
          ⎩
        Замечание. Если вторые частные производные не содержат λ , то
процесс нахождения условного экстремума вырождается в процесс нахождения
локального (абсолютного) экстремума функции z = f ( x, y ) − что не приемле-
мо. Тогда для исследования на экстремум в полученных критических точках
                                0          ϕ ′x (M 0 ; λ 0 ) ϕ ′y (M 0; λ 0 )
вычисляем значение Δ = − ϕ ′x (M 0 ; λ 0 ) u ′xx
                                              ′ (M 0 ; λ 0 ) u ′xy
                                                                 ′ (M 0 ; λ 0 ) .
                         ϕ ′y (M 0 ; λ 0 ) u ′xy                 ′ (M 0 ; λ 0 )
                                              ′ ( M 0 ; λ 0 ) u ′yy

        Если Δ > 0 , то функция z = f ( x, y ) в точке M 0 имеет условный минимум;
если Δ < 0 - то условный максимум.
        Пример 1. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи:
                                             2x + 3y – 5 = 0.
        Решение. Составим функцию Лагранжа u = xy + λ (2 x + 3 y − 5) .
9
 Лагранж Жозеф Луи (1736-1813) – французский математик и механик, член Берлинской академии наук (1759),
Парижской академии наук (1772), почётный член Петербургской академии наук (1776), родился и получил
высшее образование в Турине (Италия).

                                                  59

Страницы