Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

61
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
520653
22
++−−= yxyxz
в замкнутом треугольнике, ограниченном осями
координат и прямой 5=+ y
x
.
Решение.
1. Найдём критические точки из системы
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+−=
∂
∂
−=
∂
∂
2010
66
y
y
z
x
x
z
⇒
⎩
⎨
⎧
=+−
=−
02010
066
y
x
⇒
⎩
⎨
⎧
=
=
2
1
y
x
⇒(1; 2) – критическая точка, кото-
рая принадлежит заданной области. Значение функции в критической точке
22=z .
2.
Проводим исследование на границе.
На прямой Оу получаем: 0
=
x
, 5205
2
++−= yyz . Исследуем эту функцию
одной переменной на наибольшее и наименьшее значения на интервале
[
]
5;0 .
2010 +−=
′
yz ⇒ 02010 =+
−
y ⇒ 2
=
y
[
]
5;0
∈
⇒ 25
=
z .
На концах отрезка
[]
5;0
функция принимает значения
(
)
50 =z и
()
205
−
=z .
На прямой Ох получаем: 0
=
у , 563
2
+
−
=
x
x
z
. Исследуем эту функцию
одной переменной на наибольшее и наименьшее значения на интервале
[
]
5;0.
66 −=
′
x
z ⇒
066 =−
x
⇒
1=
x
[
]
5;0
∈
⇒
2
=
.
На концах отрезка
[]
5;0 функция принимает значения
(
)
50 =z и
()
505 =z .
На прямой 5
=
+
y
x
получаем:
x
у
−
=
5,
() ( )
2024255206553
2
2
2
−+−=+−+−−−= xxxxxxz . Исследуем эту функ-
цию одной переменной на наибольшее и наименьшее значения на интервале
[]
5;0.
244 −−=
′
x
z ⇒ 0244 =−−
x
⇒ 8
−
=
x
[
]
5;0
∉
.
На концах отрезка
[]
5;0 функция принимает значения
(
)
200 −=z и
()
505
=
z . 
           Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = 3x 2 − 5 y 2 − 6 x + 20 y + 5 в замкнутом треугольнике, ограниченном осями
координат и прямой x + y = 5 .
           Решение.
1.              Найдём         критические               точки      из        системы
     ⎧ ∂z
     ⎪⎪ ∂x = 6 x − 6   ⎧6 x − 6 = 0        ⎧x = 1
      ⎨ ∂z           ⇒ ⎨                 ⇒ ⎨      ⇒ (1; 2) – критическая точка, кото-
                       ⎩ − 10 y + 20 = 0   ⎩ y=2
      ⎪ = −10 y + 20
      ⎪⎩ ∂y

рая принадлежит заданной области. Значение функции в критической точке
z = 22 .
2.         Проводим исследование на границе.
На прямой Оу получаем: x = 0 , z = −5 y 2 + 20 y + 5 . Исследуем эту функцию
одной переменной на наибольшее и наименьшее значения на интервале [0; 5] .
z ′ = −10 y + 20 ⇒ − 10 y + 20 = 0 ⇒ y = 2 ∈ [0; 5] ⇒ z = 25 .
На концах отрезка [0; 5] функция принимает значения z (0 ) = 5 и z (5) = −20 .

           На прямой Ох получаем: у = 0 , z = 3x 2 − 6 x + 5 . Исследуем эту функцию
одной переменной на наибольшее и наименьшее значения на интервале [0; 5] .
z ′ = 6 x − 6 ⇒ 6 x − 6 = 0 ⇒ x = 1 ∈ [0; 5] ⇒ z = 2 .
На концах отрезка [0; 5] функция принимает значения z (0 ) = 5 и z (5) = 50 .
           На         прямой           x+ y=5               получаем:         у =5− x,

z = 3x 2 − 5(5 − x )2 − 6 x + 20(5 − x + 5 = ) − 2 x 2 + 24 x − 20 . Исследуем эту функ-
цию одной переменной на наибольшее и наименьшее значения на интервале
[0; 5] .
z ′ = −4 x − 24 ⇒ − 4 x − 24 = 0 ⇒ x = −8 ∉ [0; 5].
На концах отрезка [0; 5] функция принимает значения z (0 ) = −20 и z (5) = 50 .




                                             61

Страницы