Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

60
Найдем частные производные и составляем необходимые условия экстремума
для функции Лагранжа:
;3;2
λλ
+=
∂
∂
+=
∂
∂
x
y
u
y
x
u
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+
=+
=
+
0532
03
02
yx
x
y
λ
λ
⇒
12
5
,
6
5
,
4
5
−===
λ
yx ⇒ М
0
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
6
5
;
4
5
- стационарная точка. Для исследования на
экстремум в полученных критических точках вычисляем значения
0,1,0,3,2
2
22
2
2
=
∂
∂
=
∂∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
y
u
yx
u
x
u
yx
ϕϕ
и составляем определитель
()
(
)
()()()
() ()
000000
000000
0000
;);(;
;;;
;;0
λλλϕ
λλλϕ
λϕλϕ
MuMuM
MuMuM
MM
yyxyy
xyxxx
yx
′′′′′
′′′′′
′′
−=Δ
=
=−
013
102
320
-12.
Т.к 0<Δ⇒в точке М
0
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
6
5
;
4
5
функция f(x, y) = xy имеет условный мак-
симум.
Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума
функции, такой метод называется
методом множителей Лагранжа.
Замечание
. Все рассуждения относительно условного экстремума
функции двух переменных могут быть распространены на функции большего
числа переменных.
4.4. Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных
Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции в
замкнутой области надо:
1.
найти критические точки, расположенные в данной области, вычислить
значения функции в этих точках;
2.
найти наибольшее и наименьшее значения функции на линиях, образую-
щих границу области;
3.
из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее. 
Найдем частные производные и составляем необходимые условия экстремума

                      ∂u                                    ∂u              ⎧ y + 2λ = 0
для функции Лагранжа:    = y + 2λ ;                            = x + 3λ ;   ⎪                  ⇒
                      ∂x                                    ∂y              ⎨ x + 3λ = 0
                                                                            ⎪2 x + 3 y − 5 = 0
                                                                            ⎩

     5     5       5      ⎛5 5⎞
x=     , y= , λ=−    ⇒ М0 ⎜ ; ⎟ - стационарная точка. Для исследования на
     4     6      12      ⎝4 6⎠
экстремум          в     полученных           критических          точках          вычисляем       значения
∂ϕ      ∂ϕ     ∂ 2u    ∂ 2u     ∂ 2u
   = 2,    = 3, 2 = 0,      = 1, 2 = 0                         и       составляем          определитель
∂x      ∂y     ∂x      ∂x∂y     ∂y

             0           ϕ x′ (M 0 ; λ 0 ) ϕ ′y (M 0; λ0 )          0 2 3
Δ = − ϕ ′x (M 0 ; λ0 )   u ′xx′ (M 0 ; λ0 ) u ′xy′ (M 0 ; λ 0 ) = − 2 0 1 = -12.
      ϕ ′y (M 0 ; λ0 )   u ′xy′ ( M 0 ; λ0 ) u ′yy′ (M 0 ; λ0 )     3 1 0

                               ⎛5 5⎞
        Т.к Δ < 0 ⇒ в точке М0 ⎜ ; ⎟ функция f(x, y) = xy имеет условный мак-
                               ⎝4 6⎠
симум.
        Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума
функции, такой метод называется методом множителей Лагранжа.
        Замечание. Все рассуждения относительно условного экстремума
функции двух переменных могут быть распространены на функции большего
числа переменных.
         4.4. Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных

        Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции в
замкнутой области надо:
1.      найти критические точки, расположенные в данной области, вычислить
значения функции в этих точках;
2.      найти наибольшее и наименьшее значения функции на линиях, образую-
щих границу области;
3.      из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.



                                                       60

Страницы