Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 63 стр.

3. Из всех получившихся значений выбираем наибольшее z наиб = 50 и наи-
меньшее z наим = −20 .
      Пример 2. Из всех прямоугольных треугольников с заданной площадью
S найти такой, гипотенуза которого имеет наименьшее значение.
      Решение. Пусть x и y – катеты треугольника, а z – гипотенуза. Так как
z 2 = x 2 + y 2 , то задача сводится к нахождению наименьшего значения функ-
                                                                     xy
ции x 2 + y 2 при условии, что x и y         связаны уравнением         = S , т.е.
                                                                     2
xy − 2 S = 0 . Рассмотрим функцию u = x 2 + y 2 + λ ( xy − 2 S ) и найдём частные
             ⎧ ∂u
             ⎪ ∂x = 2 x + λy,
             ⎪
производные ⎪⎨ ∂u = 2 y + λx, Получаем решение λ = −2, x = y = 2S . Таким обра-
             ⎪ ∂y
             ⎪ xy
             ⎪ = S.
             ⎩2
зом, гипотенуза имеет наименьшее значение, если катеты треугольника равны
между собой.
           4.5. Скалярное поле. Производная в данном направлении.
                                 Градиент функции

      Если в некоторой области D задана скалярная функция точки U (M ) , то
говорят, что в этой области задано скалярное поле.
      Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения
поля в заданном направлении. Для характеристики скорости изменения поля
U = U (M ) в заданном направлении вводится понятие «производной по направ-
лению».
                                                                 r
      Производной от функции U = U (M ) в точке М по направлению λ назы-
                ∂u       ΔU
вается предел      = lim    .
                ∂λ Δλ →0 Δλ



                                       62