Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

63
Если функция
U
дифференцируема, то её производная
λ
∂
∂u
по любому
направлению
λ
r
существует и равна
γβα
λ
coscoscos
z
u
y
u
x
uu
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
, где
γ
β
α
coscos,cos и - направляющие косинусы
λ
r
.
Пример 1. Дана функция
x
y
z
u
. Найти её производную в точке
()
2,1,5M
в направлении, идущем от этой точки к точке
(
)
3,1,7 −K
.
Решение. Найдём частные производные xy
z
u
xz
y
u
yz
x
u
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
,, и вы-
числим их значения в точке
M
:
5,10,2 =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
M
M
M
z
u
y
u
x
u
.
Так как
MK (2, -2, 1), то его направляющими косинусами будут
()
2
2
2
122
2
cos
+−+
=
α
,
()
2
2
2
122
2
cos
+−+
−
=
β
,
()
2
2
2
122
1
cos
+−+
=
γ
. Сле-
довательно,
3
11
2
1
5
3
2
10
3
2
2 −=⋅+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅+⋅=
∂
∂
λ
u
(знак минус указывает, что в дан-
ном направлении функция убывает).
Градиентом
функции
U
называется вектор, проекциями которого служат
значения частных производных этой функции, то есть
k
z
u
j
y
u
i
x
u
gradu
r
r
r
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= .
Градиент – вектор, показывающий направление наискорейшего измене-
ния некоторого скалярного поля
U
в какой - либо точке. В физике существуют
такие понятия как градиент температуры, градиент давления и т.п. То есть на-
правление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.
Пример 2. Найти величину и направление градиента функции
ctgzzyyxtgxu ++−+−=
3
sin3sin3 в точке
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
,
3
,
4
πππ
M . 
                                                                                       ∂u
       Если функция U дифференцируема, то её производная                                  по любому
                                                                                       ∂λ
                  r                       ∂u ∂u           ∂u         ∂u
направлению λ существует и равна            =     cos α +    cos β +    cos γ , где
                                          ∂λ ∂x           ∂y         ∂z
                                              r
cos α , cos β и cos γ - направляющие косинусы λ .
       Пример 1. Дана функция u = xyz . Найти её производную в точке
M (5, 1, 2 ) в направлении, идущем от этой точки к точке K (7, − 1, 3) .
                                                                     ∂u       ∂u       ∂u
       Решение. Найдём частные производные                              = yz,    = xz,    = xy и вы-
                                                                     ∂x       ∂y       ∂z

                               ⎛ ∂u ⎞                         ⎛ ∂u ⎞             ⎛ ∂u ⎞
числим их значения в точке M : ⎜ ⎟ = 2,                       ⎜⎜ ⎟⎟ = 10,        ⎜ ⎟ = 5.
                               ⎝ ∂x ⎠ M                        ⎝ ∂y ⎠ M          ⎝ ∂z ⎠ M

       Так как         MK (2, -2, 1), то его направляющими косинусами будут
                   2                                 −2                                1
cos α =                             , cos β =                        , cos γ =                          . Сле-
           2 + (− 2 ) + 1
             2         2        2
                                                2 + (− 2 ) + 1
                                                 2        2      2
                                                                                 2 + (− 2 ) + 1
                                                                                  2        2        2


                 ∂u      2       ⎛        2⎞     1    11
довательно,         = 2 ⋅ + 10 ⋅ ⎜ −       ⎟ + 5⋅ = −    (знак минус указывает, что в дан-
                 ∂λ      3       ⎝        3⎠     2     3
ном направлении функция убывает).
       Градиентом функции U называется вектор, проекциями которого служат
значения          частных              производных             этой        функции,            то         есть
           ∂u r ∂u r ∂u r
gradu =       i +    j+    k.
           ∂x     ∂y    ∂z
       Градиент – вектор, показывающий направление наискорейшего измене-
ния некоторого скалярного поля U в какой - либо точке. В физике существуют
такие понятия как градиент температуры, градиент давления и т.п. То есть на-
правление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.
       Пример 2. Найти величину и направление градиента функции
                                3                             ⎛π π π ⎞
u = tgx − x + 3 sin y − 3 sin       y + z + ctgz в точке M ⎜    , , ⎟.
                                                              ⎝4 3 2⎠


                                                     63

Страницы