Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 66 стр.

        Поиск такой функциональной зависимости называют «сглаживанием»
экспериментальных данных. Согласно методу наименьших квадратов указыва-
ется вид эмпирической формулы: y=Q(x,a0,a1,…,an), где a0, a1,…, an – числовые
параметры.
        Наилучшими значениями числовых параметров (обозначают a0 , a1,..., an )
считаются те, для которых сумма квадратов уклонений функции Q(x,a0,a1,…,an)
от экспериментальных точек (xi;yi) является минимальной, т.е. функция
                          m
S (a0 , a1,..., an ) =   ∑ (Q( x , a , a ,..., a ) − y )
                         i =1
                                  i   0   1       n       i
                                                              2
                                                                  в точке a0 , a1 ,..., an достигает мини-

мума. Отсюда, используя необходимые условия экстремума функции несколь-
ких переменных, получаем систему уравнений для определения параметров
                    ∂S       ∂S           ∂S
a0 , a1,..., an :       = 0,     = 0,...,     = 0 . Если система имеет единственное ре-
                    ∂a0      ∂a1          ∂an
шение, то оно является искомым и аналитическая зависимость между экспери-
ментальными данными определяется формулой: y = f ( x) = Q( x, a0 , a1,..., an ) .
        Например. Для аппроксимирующей зависимости с двумя параметрами:
y = Q( x,α , β ) . Получают систему двух уравнений с двумя неизвестными α и β:

        ⎧ m                       ∂Q( xi ,α , β )
          ∑
        ⎪ [Q( xi , α , β ) − yi ]
        ⎪ i =1                        ∂α
                                                  =0
        ⎨ m
        ⎪ [Q( x , α , β ) − y ] ∂Q( xi ,α , β ) = 0
        ⎪ ∑
        ⎩ i =1
               i              i
                                      ∂β

        В частном случае апроксимации экспериментальных данных с помощью
                                                                          ∂Q      ∂Q
линейной функции имеем y = Q( x, k , b) = kx + b,                            = x,    = 1 . Система для
                                                                          ∂k      ∂b
этого случая является линейной относительно независимых k и b:
         ⎧ m                              ⎧              m          m

         ⎪⎪ ∑ [(kxi + b) − yi ] = 0       ⎪⎪     bm + k ∑     xi = ∑     yi
          ⎨m
                i =1
                                     ⇔     ⎨ m
                                                        i =1
                                                          m
                                                                   i =1
                                                                      m
          ⎪∑ [(kxi + b) − yi ]xi = 0       ⎪b∑ xi + k ∑ xi2 = ∑ xi yi
          ⎪⎩ i =1                          ⎪⎩ i =1       i =1        i =1



                                                        65