Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

57
Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.
4.3. Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум
Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в неко-
торой окрестности точки
М
0
(х
0
, у
0
) верно неравенство ),(),(
00
yxfyxf > , то точка
М
0
называется точкой максимума.
Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в неко-
торой окрестности точки
М
0
(х
0
, у
0
) верно неравенство ),(),(
00
yxfyxf < , то точка
М
0
называется точкой минимума.
Теорема (необходимые условия экстремума).
Если функция f(x,y) в
точке (
х
0
, у
0
) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производ-
ные первого порядка равны нулю
0),(,0),(
0000
=
′
=
′
yxfyxf
yx
, либо хотя бы одна
из них не существует.
Точку
(х
0
, у
0
) называют критической точкой.
Теорема (достаточные условия экстремума). Пусть в окрестности кри-
тической точки
(х
0
, у
0
) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные
до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:
2
),( BCAyxD −⋅= , где ),(
2
yxfA
x
′
′
= ,
),(
2
yxfC
y
′
′
=
,
[
]
2
),( yxfB
xy
′′
=
.
1)
Если D(x
0
, y
0
) > 0, то в точке (х
0
, у
0
) функция f(x, y) имеет экстремум, если
0<
A
- максимум, если 0>
A
- минимум.
2)
Если D(x
0
, y
0
) < 0, то в точке (х
0
, у
0
) функция f(x, y) не имеет экстремума.
3)
Если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя, необходимы
дополнительные исследования.
Пример 1. Найти точки экстремума функции yxxyyxz 54
22
−−++= .
Решение. Находим частные производные первого порядка
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−+=
∂
∂
−+=
∂
∂
52
42
xy
y
z
yx
x
z
⇒
⎩
⎨
⎧
=−+
=
−
+
052
042
xy
yx
⇒
⎩
⎨
⎧
=
=
2
1
y
x
⇒М(1; 2) – критическая точка. 
        Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.
     4.3. Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум

        Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в неко-
торой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство f ( x0 , y 0 ) > f ( x, y ) , то точка
М0 называется точкой максимума.
        Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в неко-
торой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство f ( x0 , y 0 ) < f ( x, y ) , то точка
М0 называется точкой минимума.
        Теорема (необходимые условия экстремума). Если функция f(x,y) в
точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производ-
ные первого порядка равны нулю f x′ ( x0 , y 0 ) = 0, f y′ ( x0 , y 0 ) = 0 , либо хотя бы одна
из них не существует.
       Точку (х0, у0) называют критической точкой.
        Теорема (достаточные условия экстремума). Пусть в окрестности кри-
тической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные
до       второго          порядка           включительно.              Рассмотрим                 выражение:

                                                                               [           ]
                                                                                ′′ ( x, y ) 2 .
D( x, y ) = A ⋅ C − B 2 , где A = f x′′2 ( x, y ) , C = f y′′2 ( x, y ) , B = f xy

1)      Если D(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, если
A < 0 - максимум, если A > 0 - минимум.
2)      Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума.
3)      Если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя, необходимы
дополнительные исследования.
        Пример 1. Найти точки экстремума функции z = x 2 + y 2 + xy − 4 x − 5 y .
        Решение. Находим частные производные первого порядка
        ⎧ ∂z
        ⎪⎪ ∂x = 2 x + y − 4
         ⎨ ∂z               ⇒     ⎧2 x + y − 4 = 0 ⇒ ⎧ x = 1 ⇒ М(1; 2) – критическая точка.
                                  ⎨                  ⎨
         ⎪ = 2y + x − 5           ⎩2 y + x − 5 = 0   ⎩y = 2
         ⎪⎩ ∂y


                                                      57

Страницы