Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

47
В достаточно малой левой окрестности точки 1 +∞=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
−−
+
−→
0
2
)2)(1(
lim
2
01
xx
xx
x
. А
правый предел равен
−∞=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
−−
+
+→
0
2
)2)(1(
lim
2
01
xx
xx
x
⇒ в точке 1=
x
разрыв
второго рода.
Левый предел в точке x=2
−∞=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
−−
+
−→
0
4
)2)(1(
lim
2
02
xx
xx
x
, а правый
+∞=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
=
−−
+
+→
0
4
)2)(1(
lim
2
02
xx
xx
x
⇒ в точке 2
=
x
разрыв второго рода.
5) Найдём точки пересечения графика с осями координат. Поскольку 0)0(
=
f
,
то график пересекает ось Oy (и, одновременно, ось Ox) в начале координат.
Приравнивая числитель к нулю, получаем уравнение
0
2
=+
x
x
, которое
имеет два корня: x=0 и x=-1 . Значит, график пересекает ось Ox в этих двух
точках (одну из них мы уже отметили ранее).
Пользуясь методом интервалов (известным из школьной программы), оп-
ределим знак функции на интервалах между корнями и точками разрыва. Таких
интервалов получается пять: (-∞;-1);(-1;0);(0;1);(1;2);(2;+∞) .
Интервалы знакопостоянства
8
функции.
6)
∞=
−−
+
→
)2)(1(
lim
2
1
xx
xx
x
. Значит, вертикальная прямая x=1 - это вертикальная асим-
птота графика функции.
∞=
−−
+
→
)2)(1(
lim
2
2
xx
xx
x
Тем самым доказали, что вертикаль-
ная прямая x=2 служит второй вертикальной асимптотой графика функции.
8
На этом рисунке знаком «+» отмечены те интервалы, на которых функция положительна, и знаком «-
» те, где она отрицательна.
-1
0 12
                                                                                     x2 + x       ⎡ 2 ⎤
В достаточно малой левой окрестности точки 1 xlim                                               = ⎢ ⎥ = +∞ . А
                                              →1− 0                             ( x − 1)( x − 2) ⎣ + 0 ⎦

                                 x2 + x        ⎡ 2 ⎤
правый предел равен lim                      = ⎢ ⎥ = −∞ ⇒ в точке x = 1 разрыв
                    x →1+ 0 ( x − 1)( x − 2)   ⎣− 0⎦
второго рода.
                                                                      x2 + x       ⎡ 4 ⎤
  Левый           предел       в        точке       x=2 xlim                     = ⎢ ⎥ = −∞ ,   а    правый
                                                         →2 −0   ( x − 1)( x − 2) ⎣ − 0 ⎦

               x2 + x        ⎡ 4 ⎤
 lim                       = ⎢ ⎥ = +∞ ⇒ в точке x = 2 разрыв второго рода.
x → 2 + 0 ( x − 1)( x − 2)
                             ⎣+ 0⎦

5) Найдём точки пересечения графика с осями координат. Поскольку f (0) = 0 ,
то график пересекает ось Oy (и, одновременно, ось Ox) в начале координат.
         Приравнивая числитель к нулю, получаем уравнение x 2 + x = 0 , которое
имеет два корня: x=0 и                  x=-1 . Значит, график пересекает ось Ox в этих двух
точках (одну из них мы уже отметили ранее).
         Пользуясь методом интервалов (известным из школьной программы), оп-
ределим знак функции на интервалах между корнями и точками разрыва. Таких
интервалов получается пять: (-∞;-1);(-1;0);(0;1);(1;2);(2;+∞) .



                                   -1           0        1           2

         Интервалы знакопостоянства8 функции.
              x2 + x
6) lim                    = ∞ . Значит, вертикальная прямая x=1 - это вертикальная асим-
    x →1 ( x − 1)( x − 2)



                                  x2 + x
птота графика функции. lim
                       x → 2 ( x − 1)( x − 2)
                                              = ∞ Тем самым доказали, что вертикаль-

ная прямая x=2 служит второй вертикальной асимптотой графика функции.



         8
             На этом рисунке знаком «+» отмечены те интервалы, на которых функция положительна, и знаком «-
» те, где она отрицательна.



                                                         47

Страницы