Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

45
Точка, отделяющая выпуклую (вогнутую) часть кривой от вогнутой (вы-
пуклой), называется
точкой перегиба.
Теорема 7. Пусть кривая определяется уравнением
()
xfy =
. Если вторая
производная
()
0=
′′
af
или
(
)
af
′
′
не существует и при переходе через точку
a
x
=
()
xf
′′
меняет знак, то точка кривой с абсциссой a
x
= является точкой
перегиба.
3) Асимптоты.
При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х
точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некото-
рой прямой.
Прямая называется асимптотой
кривой, если расстояние от переменной
точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к
нулю.
Замечание. Не всякая кривая имеет асимптоту. Исследование функций на
наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить
характер функции и поведение графика кривой.
Выделяют следующие виды асимптот:
- вертикальные (из определения асимптоты следует, что если
∞
=
+→
)(lim
0
xf
ax
или
∞=
−→
)(lim
0
xf
ax
или
∞
=
→
)(lim xf
ax
, то прямая a
x
=
– асимптота кривой y = f(x));
- наклонные (уравнение наклонной асимптоты находится по формуле
bk
x
y += , где
x
xf
x
y
)(
lim
±∞→
=
,
[
]
kxxfb
x
−
=
±∞→
)(lim
);
- горизонтальные (горизонтальные асимптоты являются частным случаем на-
клонных асимптот при k =0).
4) Этапы исследования функции:
1.
найти область определения и область значений функции;
2.
установить, является ли функция чётной или нечётной, периодической
или нет; 
        Точка, отделяющая выпуклую (вогнутую) часть кривой от вогнутой (вы-
пуклой), называется точкой перегиба.
        Теорема 7. Пусть кривая определяется уравнением y = f ( x ) . Если вторая
производная f ′′(a ) = 0 или f ′′(a ) не существует и при переходе через точку
x=a        f ′′( x ) меняет знак, то точка кривой с абсциссой x = a является точкой
перегиба.
3) Асимптоты.
        При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х
точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некото-
рой прямой.
        Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной
точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к
нулю.
        Замечание. Не всякая кривая имеет асимптоту. Исследование функций на
наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить
характер функции и поведение графика кривой.
        Выделяют следующие виды асимптот:
- вертикальные (из определения асимптоты следует, что если lim f ( x) = ∞ или
                                                          x →a + 0


      lim f ( x) = ∞ или lim f ( x) = ∞ , то прямая x = a – асимптота кривой y = f(x));
      x →a −0            x→a


- наклонные (уравнение наклонной асимптоты находится по формуле
                                 f ( x)
      y = kx + b , где y = lim            , b = lim [ f ( x) − kx] );
                          x → ±∞ x              x → ±∞

- горизонтальные (горизонтальные асимптоты являются частным случаем на-
     клонных асимптот при k =0).
4) Этапы исследования функции:
1.     найти область определения и область значений функции;
2.     установить, является ли функция чётной или нечётной, периодической
или нет;


                                                45

Страницы