Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 41 стр.

                                                точке их пересечения Р( x 0 ; y 0 ) , то есть частные
                                                значения в точке x 0 производных от y по x из
                                                уравнений этих кривых:
                                                              ⎛ dy ⎞                        ⎛ dy ⎞
                                                 k1 = tgα 1 = ⎜ 1 ⎟         , k 2 = tgα 2 = ⎜ 2 ⎟          .
                                                              ⎝ dx ⎠ x = x0                 ⎝  dx ⎠ x = x0




                      Рис.6
             Пример 1. Найти уравнения касательной и нормали к кривой в заданной
точке:
                           ⎛ x⎞
             а) f ( x) = ch⎜ ⎟ при x 0 = 2 ln 2 .
                           ⎝2⎠
             Решение6.                 Из                    уравнения                          кривой        найдем
       ⎛ 2th 2 ⎞               eln 2 + e − ln 2 5                       1 ⎛ x⎞
y0 = ch⎜       ⎟ = ch(ln 2 ) =                 = и производную f ′( x) = sh⎜ ⎟ ⇒
       ⎝ 2 ⎠                         2          4                       2 ⎝2⎠
                                                                                       1
                                                                                   2−
                  1 ⎛ 2 ln 2 ⎞ 1              1 ⎛e    ln 2
                                                             −e   − ln 2
                                                                           ⎞           2 = 3.
    f ′( x0 ) =    sh⎜       ⎟ = ⋅ sh(ln 2 ) = ⋅ ⎜⎜                        ⎟⎟ =
                  2 ⎝ 2 ⎠ 2                   2 ⎝            2              ⎠        4     8

                                            5 3                    3   3      5
Уравнение касательной: y −                   = ( x − 2 ln 2 ) ⇒ y = x − ln 2 + .
                                            4 8                    8   4      4
                                       5    8                      8   16     5
Уравнение нормали: y −                   = − ( x − 2 ln 2 ) ⇒ y = − x + ln 2 + .
                                       4    3                      3    3     4
б) x 2 + 2 xy 2 + 3 y 4 = 6 в точке M (1; − 1) .
             Решение.            Из       уравнения                        кривой           найдём       производную:
                  2     3                   x + y2
                 ′        ′
2 x + 2 y + 4 xyy + 12 y y = 0 , т.е. y = −
                                       ′             .
                                                   3
                                                                  2 xy + 6 y

                                                1 + (− 1)
                                                             2
                                                                                   1
             Следовательно, y 0′ = −                                           =     .
                                          2 ⋅ 1 ⋅ (− 1) + 6 ⋅ (− 1)
                                                                           3
                                                                                   4


          e x + e−x                                  e x − e−x
6
    chx =           - гиперболический косинус, shx =           -гиперболический синус.
              2                                          2

                                                                 40