Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

38
Решение. =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
−+
−
→
0
0
cos1
2
lim
0
x
ee
xx
x
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
−
→
0
0
sin
lim
0
x
ee
xx
x
= 2
1
2
cos
lim
0
==
+
−
→
x
ee
xx
x
.
3. Неопределенности вида
00
;1;0 ∞
∞
можно раскрыть с помощью лога-
рифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении преде-
лов функций вида
[]
)(
)(
xg
xfy =
, f(x)>0 вблизи точки а при х→а. Для нахожде-
ния предела такой функции достаточно найти предел функции
() ()()
xfxgy lnln =
г)
x
x
x
x
0
0
lim
>
→
.
Решение. Здесь
x
xy = ,
x
x
y lnln
=
. Тогда
;0
0
0
lim
2
/1
/1
0
0
lim
1
ln
0
0
limln
0
0
limln
0
0
lim =
>
→
−=
−
>
→
==
>
→
=
>
→
=
>
→
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
x
x
x
x
x
x
x
Лопиталя
правило
x
x
x
x
xx
x
x
y
x
x
.
Следовательно
1limlim;0limlnlnlim
0
0
0
0
0
0
0
0
==⇒==
>
→
>
→
>
→
>
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xyyy
3.2 Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Приращение Δy функции y=f(x) в точке x можно представить в виде:
xxxfy
Δ
⋅+Δ
′
=Δ
α
)(
, где
0→Δx
, или
x
dyy
Δ
⋅
Δ
α
. Отбрасываем бесконечно
малую
x
Δ⋅
α
более высокого порядка, чем Δx, получаем приближенное равен-
ство:
dyy ≈Δ
; причем это равенство тем точнее, чем меньше Δx.
Вывод: это равенство позволяет с большей точностью вычислить при-
ближенно приращение любой дифференцируемой функции.
Пример 1. Найти приближенное значение приращения функции
12
3
+−= xxy при x=2 и
Δ
x=0,001.
Применяем формулу:
xxxxxdyy Δ−=Δ
′
+−=≈Δ )23()12(
23
. Подставляем x и
Δx , получаем:
01,0001,0)243(
=
−⋅
=
dy
. Найдем погрешность, которую мы допус-
тили при вычислении дифференциала функции вместо ее приращения: 
             e x + e−x − 2 ⎡0⎤        e x − e−x ⎡0⎤        e x + e− x 2
Решение. lim              = ⎢ ⎥ = lim          = ⎢ ⎥ = lim           = = 2.
         x →0 1 − cos x     ⎣ 0 ⎦ x →0 sin x     ⎣ 0 ⎦ x →0 cos x     1
        3. Неопределенности вида 0 0 ; 1∞ ; ∞ 0 можно раскрыть с помощью лога-
рифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении преде-
лов функций вида y = [ f ( x )]g ( x ) , f(x)>0 вблизи точки а при х→а. Для нахожде-
ния      предела          такой   функции   достаточно    найти     предел      функции
ln y = g ( x ) ln ( f ( x ))

        г) lim x x .
            x →0
            x >0

Решение. Здесь y = x x , ln y = x ln x . Тогда

                               ln x ⎧правило ⎫          1/ x
  lim ln y = lim x ln x = lim      =⎨          ⎬ = lim         = − lim x = 0;   .
 x →0        x →0         x →0 1    ⎩ Лопиталя ⎭ x→0 − 1 / x 2    x →0
 x >0        x >0         x >0 x                   x >0           x >0

Следовательно lim ln y = ln lim y = 0; ⇒          lim y = lim x x = 1
                          x →0      x →0          x →0    x →0
                          x>0       x >0          x >0    x>0

             3.2 Применение дифференциала к приближенным вычислениям

        Приращение Δy функции y=f(x) в точке x можно представить в виде:
Δy = f ′( x ) Δx + α ⋅ Δx , где Δx → 0 , или Δy = dy + α ⋅ Δx . Отбрасываем бесконечно

малую α ⋅ Δx более высокого порядка, чем Δx, получаем приближенное равен-
ство: Δy ≈ dy ; причем это равенство тем точнее, чем меньше Δx.
        Вывод: это равенство позволяет с большей точностью вычислить при-
ближенно приращение любой дифференцируемой функции.
        Пример 1. Найти приближенное значение приращения функции
y = x 3 − 2 x + 1 при x=2 и Δx=0,001.

        Применяем формулу: Δy ≈ dy = ( x 3 − 2 x + 1)′Δx = (3x 2 − 2)Δx . Подставляем x и
Δx , получаем: dy = (3 ⋅ 4 − 2)0,001 = 0,01 . Найдем погрешность, которую мы допус-
тили при вычислении дифференциала функции вместо ее приращения:

                                            38

Страницы