Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 37 стр.

                                                                        n
                             n    ⎛∂    ∂    ⎞
                           d z = ⎜⎜ dx + dy ⎟⎟ f ( x, y ) - дифференциал n-го порядка.
                                  ⎝ ∂x  ∂y ⎠

              Здесь n – символическая степень производной, на которую заменяется ре-
альная степень после возведения в нее стоящего в скобках выражения.
              Пример. Для функции z = 3 x 2 y 4 найти d 3 z .
                                                                                                                    ∂z
Решение. Найдем все частные производные третьего порядка.                                                              = 6xy 4 ,
                                                                                                                    ∂x

                                       (       )                                  (       )
              2
∂z       2 3 ∂ z                                   /          ∂2z                             /
   = 12 x y , 2 = 6 xy 4                           x   = 6y ,       4
                                                                   = 6 xy 4                   y   = 24 xy 3 ;
∂y           ∂x                                               ∂x∂y

              (             )                                       = (6 y )                                    (     )
∂2z                   2      /                          ∂3z                 4 /           3        ∂3z                /
      2
          = 12 x          y3 y             2
                                    = 36 x y , 2
                                                                3             x   = 24 y ,           2
                                                                                                          = 24 xy 3   x   = 24 y 3 ,
∂y                                                      ∂x                                        ∂x ∂y

    ∂3z
          2
                  (
               = 24 xy 3        )
                                /
                                y   = 72 xy 2 ,
                                                       ∂3z
                                                            3
                                                                    (
                                                                = 36 x 2 y 2      )
                                                                                  /
                                                                                  y   = 72 x 2 y .
∂x∂y                                                   ∂y
Подставим полученные частные производные в соответствующую формулу
d 3 z = f x′′3′ ( x, y )( dx )3 + 3 f x′′2′ y ( x, y )( dx ) 2 dy + 3 f xy
                                                                        ′′′ 2 ( x, y ) dx ( dy ) 2 + f y′′′3 ( x, y )( dy )3 =

= 72 xy 2 dx 3 + 72 y 3 dx 2 dy + 216 xy 2 dxdy 2 + 72 x 2 ydy 3 .
                      §3. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИИ
                                                            ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ


                                                                3.1 Правило Лопиталя5

              Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируе-
мы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g′(x) отлична от нуля вблизи а и
    f (a ) = g (a ) = 0 , то предел отношения функций при х→а равен пределу отноше-




5
  Лопиталь де Гийом Франсуа (1661-1704) – французский математик, член Парижской академии наук, ученик
И.Бернулли. Автор первого учебника по дифференциальному исчислению «Анализ бесконечно малых»
(1696г.); в этом учебнике и было сформулировано правило, называемое теперь правилом Лопиталя.

                                                                             36