Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 33 стр.

                                                     ⎧ x = ϕ (t )
        Пусть                   z = f ( x, y ) , где ⎨            , и функции f ( x, y ) , ϕ (t ), ψ (t ) диффе-
                                                     ⎩ y = ψ (t )
ренцируемы. Тогда производная сложной функции z = f [ϕ (t ), ψ (t )] вычисляет-
                                 dz ∂z dx ∂z dy
ся по формуле:                     = ⋅   +  ⋅ .
                                 dt ∂x dt ∂y dt
        Если z = f ( x, y ) , где y = ϕ ( x ) , то полная производная от z по x находится
                                dz ∂z ∂z dy
по формуле:                       =  +  ⋅ .
                                dx ∂x ∂y dx

                                  ⎧ x = ϕ (u; v ),
        Если z = f ( x, y ) , где ⎨                 то частные производные выражаются по
                                  ⎩ y = ψ  (u ; v )
                           ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y   ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
формулам:                    = ⋅   +  ⋅   и   = ⋅ +    ⋅ .
                           ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v

                                    dz               2   2        ⎧ x = a cos(t ),
Пример 1. Найти                        , если z = e x + y , где   ⎨                .
                                    dt                            ⎩ y = a sin(t )
                          dz ∂z dx ∂z dy
                                         = e x + y ⋅ 2 x(− a sin(t ) ) + e x + y ⋅ 2 y (a cos(t ) ) =
                                              2   2                         2   2

Решение.                    =  ⋅ + ⋅
                          dt ∂x dt ∂y dt

                      ( y cos(t ) − x sin(t ) ) . Выразив
           2
               + y2
= 2ae x                                                     x, y, через t, получим
dz
   = 2ae a (a sin(t ) cos(t ) − a cos(t ) sin(t ) ) = 0 .
          2


dt

                                    dz                   ⎛ x⎞
Пример 2. Найти                        , если z = arcsin⎜⎜ ⎟⎟ , y = x 2 + 1 .
                                    dt                   ⎝ y⎠
                                                                    /                           /
Решение.
         dz ∂z ∂z dy
           =  +  ⋅ =
         dx ∂x ∂y dx
                                                      1         ⎛x⎞
                                                             ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ +
                                                            2 y
                                                                          1
                                                                               2
                                                                                          ⎛ x⎞
                                                                                       ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅
                                                                                                     1
                                                                                          ⎝ y ⎠ y 2 x 2 +1
                                                                                                          (      ) ′
                                                                                                           ⋅ x 2 +1 =
                                                      ⎛ x ⎞ ⎝ ⎠x          ⎛ x⎞
                                                      ⎜
                                                   1+ ⎜ ⎟ ⎟               ⎜
                                                                       1+ ⎜ ⎟⎟
                                                      ⎝ y⎠                ⎝ y⎠

       y   1                       y       ⎛ x ⎞  x         1              x2
=            +        ⋅                   ⋅⎜−  ⎟⋅      =          −
     2   2                                 ⎜  2⎟
    y +x   y                     y 2 + x2 ⎝ y ⎠ x2 + 1   y 2 + x 2 y y 2 + x 2 ⋅ x 2 +1

    y x 2 +1 − x 2
=                  .
       2   2    2
  y ( y + x ) x +1          (      )
                                                             32