Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

29
Решение. Рассматривая у как постоянную величину, получим
22
23 yx
x
z
−=
∂
∂
.
Рассматривая х как постоянную величину, получим
3
43 yxy
y
z
+−=
∂
∂
.
б)
y
x
z =
.
Решение.
1−
=
∂
∂
y
yx
x
z
;
xx
y
z
y
ln⋅=
∂
∂
.
в)
2
2 yx
ez
−
= .
Решение.
()
22
2
/
22
22
yx
x
yx
eyxe
x
z
−−
=−=
∂
∂
;
(
)
22
2
/
22
22
yx
y
yx
yeyxe
y
z
−−
−=−=
∂
∂
.
г)
432
zyxu =
.
Решение. Рассматривая у и z как постоянные величины, получим
43
2 zxy
x
z
=
∂
∂
.
Рассматривая х
и z как постоянные величины, получим
422
3 zyx
y
z
=
∂
∂
.
Рассматривая х
и у как постоянные величины, получим
332
4 zyx
z
z
=
∂
∂
.
Пример 2. Показать, что функция
(
)
22
ln yxyz −= удовлетворяет уравнению
2
11
y
z
y
z
yx
z
x
=
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅
.
Решение. Находим
22
2
yx
xy
x
z
−
=
∂
∂
,
()
22
2
22
2
ln
yx
y
yx
y
z
−
−−=
∂
∂
.
Подставим найденные выражения в левую часть уравнения:
()
(
)
2
22
222222
2
22
22
ln222
ln
121
y
z
y
yx
yx
y
yx
y
yx
y
yx
y
yx
xy
x
=
−
+
−
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−−⋅+
−
⋅
Пример 3.
Найти
φ
φ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
y
r
y
x
r
x
, если
φ
cos
r
x
=
,
sin
r
y
=
. 
                                                                                       ∂z
Решение. Рассматривая у как постоянную величину, получим                                  = 3x 2 − 2 y 2 .
                                                                                       ∂x
                                                                         ∂z
Рассматривая х как постоянную величину, получим                             = −3 xy + 4 y 3 .
                                                                         ∂y

      б) z = x y .
               ∂z            ∂z
Решение.          = yx y −1 ; = x y ⋅ ln x .
               ∂x            ∂y
                     2
      в) z = e 2 x − y .

Решение.
               ∂z
               ∂x
                            2
                             (
                  = e 2 x− y 2x − y 2   )
                                        /
                                        x
                                                        2
                                            = 2e 2 x − y ;
                                                             ∂z
                                                             ∂y
                                                                          2
                                                                             (
                                                                = e 2 x− y 2 x − y 2   )/
                                                                                        y
                                                                                                          2
                                                                                            = −2 ye 2 x − y .

      г) u = x 2 y 3 z 4 .
                                                                                             ∂z
Решение. Рассматривая у и z как постоянные величины, получим                                    = 2 xy 3 z 4 .
                                                                                             ∂x
                                                                             ∂z
Рассматривая х и z как постоянные величины, получим                             = 3x 2 y 2 z 4 .
                                                                             ∂y
                                                                             ∂z
Рассматривая х и у как постоянные величины, получим                             = 4x 2 y 3 z 3 .
                                                                             ∂z
                                                        (          )
Пример 2. Показать, что функция z = y ln x 2 − y 2 удовлетворяет уравнению
1 ∂z 1 ∂z   z
 ⋅  + ⋅   = 2.
x ∂x y ∂y y

                 ∂z            ∂z                   2y2
Решение. Находим    =
                       2 xy
                             ,
                 ∂x x 2 − y 2 ∂y
                                  = ln x 2
                                           − y 2
                                                 −  (      .   )
                                                   x2 − y2

Подставим найденные выражения в левую часть уравнения:
1
  ⋅ 2
     2 xy
            +
              1 ⎡
               ⋅   ln(x 2
                          − y)2
                                −
                                    2y2 ⎤
                                           =
                                               2y
                                                    −
                                                         2y
                                                              +
                                                                         (
                                                                ln x 2 − y 2   z
                                                                             = 2
                                                                                   )
                 ⎢                     2 ⎥
x x −y    2
              y ⎣                 x −y ⎦ x −y
                                   2         2    2
                                                      x −y
                                                       2    2
                                                                      y       y

                ∂x           ∂x
                             ∂φ
Пример 3. Найти ∂∂yr         ∂y
                                , если x = r cos φ , y = r sin φ .
                 ∂r          ∂φ




                                                   29

Страницы