Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 28 стр.

         Решение. Проверим условия непрерывности функции в точке О(0; 0):
     1) Функция f(x, y) определена в окрестности этой точки.
                        ⎛  1       ⎞                                          1
     2) lim(x + y ) sin ⎜⎜         ⎟⎟ = 0 , так как имеем x + y → 0 , а sin 2     ограничена.
                        ⎝x + y                                             x + y2
         x →0                2 2
         y →0                       ⎠

3)       Предел в точке равен значению функции в этой точке f (0; 0 ) = 0 . Функ-
ция непрерывна в точке О (0; 0).
         Функция непрерывна в каждой точке ( х; у ) ∈ R 2 как комбинация непре-
рывных элементарных функций.
         Свойства.
1.       Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и ограни-
ченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка
N(x0,y0, …), такая, что для остальных точек верно неравенство
f(x0, y0, …) ≥ f(x, y, …), а также точка N1(x01, y01, …), такая, что для всех осталь-
ных точек верно неравенство f(x01, y01, …) ≤ f(x, y, …), тогда f(x0,y0,…)=M – наи-
большее значение функции, а f(x01, y01, …) = m – наименьшее значение функции
f(x, y, …) в области D.
         Замечание.
         1. Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D дости-
гает по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.
         2. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограни-
ченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значе-
ния функции в этой области, то для любой точки μ ∈[m, M] существует точка
N0(x0, y0, …) такая, что f(x0, y0, …) = μ (Проще говоря, непрерывная функция
принимает в области D все промежуточные значения между M и m).
         Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа
M и m разных знаков, то в области D функция по крайней мере один раз обра-
щается в ноль.




                                                  27