Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

68
Установить вид эмпирической формулы y=f(x),используя аппроксими-
рующую зависимость с тремя параметрами a, b и с, имеющую вид
cbxaxcbaxQy ++==
2
),,,(. Здесь соотношение имеет вид:
∑
=
−++=
m
i
iii
ycbxaxcbaS
1
22
)(),,(. Для нахождения a,b и c составим систему
уравнений:
0,0,0 =
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
c
S
b
S
a
S
. Отсюда получаем систему трех линейных
уравнений с тремя неизвестными:
⇔
∑
=
=⋅+
∑
=
+
∑
=
∑
=
=
∑
=
+
∑
=
+
∑
=
∑
=
=
∑
=
+
∑
=
+
∑
=
⇔
∑
=
=−++
∑
=
=−++
∑
=
=−++
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
4
1
4
1
4
1
2
4
1
4
1
4
1
2
4
1
3
4
1
2
4
1
2
4
1
3
4
1
4
1
0)
2
(
1
0)
2
(
1
0
2
)
2
(
i
i
yтc
i
i
xb
i
i
xa
i
i
x
i
y
i
i
xc
i
i
xb
i
i
xa
i
i
x
i
y
i
i
xc
i
i
xb
i
i
xa
m
i
i
yc
i
bx
i
ax
m
i
i
x
i
yc
i
bx
i
ax
m
i
i
x
i
xc
i
bx
i
ax
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=++
=
+
+
74826
1182692
412692338
cba
cba
cba
. Решаем систему, имеем: a=5/6; b=-109/30; c=18/5.
Эмпирическая формула представляет собой функцию:
5
18
30
109
6
5
2
+−= xxy .
Сравним экспериментальные данные с результатами вычислений по эмпириче-
ской формуле:
x
i
0 1 3 4
y
i
4 0 1 2
Y 18/5 4/5 1/5 12/5
Покажем это на графике:
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
1234
yi
y
       Установить вид эмпирической формулы y=f(x),используя аппроксими-
рующую зависимость с тремя параметрами a, b и с, имеющую вид
y = Q( x, a, b, c) = ax 2 + bx + c .                 Здесь          соотношение       имеет       вид:
                m
S (a, b, c) =   ∑ (ax
                i =1
                              2
                              i   + bxi + c − yi ) 2 . Для нахождения a,b и c составим систему


                 ∂S      ∂S      ∂S
уравнений:          = 0,    = 0,    = 0 . Отсюда получаем систему трех линейных
                 ∂a      ∂b      ∂c
уравнений с тремя неизвестными:
       ⎧∑  m       2                      2     ⎧ 4 4           4 3      4 2      4     2
              ( ax i + bx i + c − x i ) x i = 0     a ∑ xi + b ∑ xi + c ∑ xi = ∑ y i xi
       ⎪i =1                                    ⎪ i =1        i =1     i =1     i =1
       ⎪⎪ m 2                                   ⎪⎪ 4 3           4 2      4       4
        ⎨ ∑ ( ax i + bx i + c − y i ) x i = 0 ⇔ ⎨ a ∑ x i + b ∑ x i + c ∑ x i = ∑ y i x i ⇔
        ⎪ i =m
             1                                   ⎪ i =14       i =1
                                                                    4
                                                                        i =1    i =1
                                                                                  4
        ⎪ ∑ ( ax i2 + bx i + c − y i ) = 0       ⎪ a ∑ x i2 + b ∑ x i + c ⋅ т = ∑ y i
        ⎪⎩ i =1                                  ⎪⎩     i =1      i =1         i =1

       ⎧338a + 92b + 26c = 41
       ⎪
       ⎨ 92a + 26b + 8c = 11 . Решаем систему, имеем: a=5/6; b=-109/30; c=18/5.
       ⎪ 26a + 8b + 4c = 7
       ⎩
                                                                                  5 2 109    18
Эмпирическая формула представляет собой функцию: y =                                x −    x+ .
                                                                                  6     30    5
Сравним экспериментальные данные с результатами вычислений по эмпириче-
ской формуле:
        xi          0              1       3           4
        yi          4              0       1           2
        Y           18/5           4/5     1/5         12/5
     Покажем это на графике:
                        4,5
                         4

                        3,5
                         3
                        2,5                                                          yi
                         2                                                           y

                        1,5
                         1
                        0,5
                         0
                                       1         2              3         4




                                                           68

Страницы