Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 70 стр.

                                 4.7. Применение в экономике
а) Прибыль от производства разных видов продукции
      Рассмотрим задачу нахождения экстремума функции нескольких пере-
менных, возникающую в экономике. Пусть x1, x2, …, xm – количество произво-
димых m разновидностей продукции, а их цены – соответственно P1, P2, …, Pm
(все Pi – постоянные величины). Затраты на производство этих видов продук-
ции задаются функцией издержек С = S ( x1 , x2 , ..., xm ) . Тогда функция прибыли
имеет вид        П = P1 x1 + P2 x2 + ... + Pm xm − S ( x1 , x2 ,..., xm ) . Максимум прибыли
ищем как условие локального экстремума многих переменных при xi ≥ 0 (при
                                              ∂П
отсутствии других переменных)                      = 0 , i=1, 2, …, m. Это условие приводит к
                                              ∂x i
                                                                                            ∂S
системе алгебраических уравнений относительно переменных xi Pi =                                = 0,
                                                                                            ∂xi
i=1, 2, …, m. Полученная система уравнений реализует известное правило эко-
номики: предельная стоимость (цена) продукции равна предельным издержкам
на производство этой продукции. Решениями этой системы уравнений являют-
ся наборы, состоящие из m значений каждый.
       Пример 1. Производится два вида продукции x1 и x2. Цены этой продук-

ции P1 = 8 и P2 = 10 соответственно, а функция затрат C = x12 + x1 x2 + x22 . Найти
максимальную прибыль.
      Решение.         Функция прибыли при заданных условиях имеет вид
П ( x; y ) = 8 x1 + 10 x2 − x12 − x1 x2 − x22 . Условия локального экстремума приводят к

                                          ⎧8 − 2 x1 − x2 = 0,   ⎧ x = 2,
системе линейных алгебраических уравнений ⎨                    ⇒⎨ 1
                                          ⎩10 − x1 − 2 x 2 = 0, ⎩ x2 = 4.

                                                                    ∂2П
      Найдём дискриминант Δ = A ⋅ C − B 2 , где A =                        = (8 − 2 x1 − x2 )/x = −2 ,
                                                                    ∂x12                     1




     ∂2П                                           ∂2П
C=          = (10 − x1 −        )
                           2 x2 /x     = −2 , B =        = (8 − 2 x1 − x2 )/x = −1 ⇒
     ∂x22                          2
                                                  ∂x1∂x2                     2




                                                    69