Дифференцирование функции одной и нескольких переменных с приложениями. Мустафина Д.А - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

70
()()
3122
2
=−−−⋅−=Δ . Так как А<0,
Δ
>0, то в точке (2; 4) максимум.
28442241028
22
max
=−⋅−−⋅+⋅=П .
Ответ: 28
max
=П .
Пример 2. Общие издержки производства заданы функцией
20006007004.06.05.0
22
+++++= yxyxyxTC , где х и у – соответственно ко-
личество товаров А и В. Общее количество произведенной продукции должно
быть 500 ед. Сколько единиц товара А и В нужно производить, чтобы издержки
на их изготовление были минимальными?
Решение. Согласно условию задачи 500
=
+
y
x
⇒
()
500;
−
+
= yxyx
ϕ
.
Составим функцию Лагранжа:
(
)
50020006007004.06.05.0
22
−+++++++= yxyxyxyxu
λ
.
Находим частные производные и составляем необходимые условия функции
Лагранжа:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=−+
=+++=
∂
∂
=+++=
∂
∂
,0500
,06008.06.0
,07006.0
yx
yx
y
u
yx
x
u
λ
λ
⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
=
=
.1000
,500
,0
λ
y
x
⇒
М
0
(0; 500) при 1000−=
λ
- стационарная точка.
Найдём значения частных производных второго порядка и подставим в
определитель
(
)
(
)
()()()
() ()
000000
000000
0000
;);(;
;;;
;;0
λλλϕ
λλλϕ
λϕλϕ
MuMuM
MuMuM
MM
yyxyy
xyxxx
yx
′′′′′
′′′′′
′′
−=Δ
=
6.0
8.06.01
6.011
110
=−
.
Так как ⇒>Δ 0 в точке М
0
(0; 500) условный минимум.
Ответ: для того чтобы издержки были минимальны при данных условиях
необходимо произвести 0 ед. товара А и 500 ед. товара В. 
Δ = −2 ⋅ (− 2 ) − (− 1)2 = 3 . Так как А<0, Δ >0, то в точке (2; 4) максимум.

П max = 8 ⋅ 2 + 10 ⋅ 4 − 2 2 − 2 ⋅ 4 − 4 2 = 28 .
      Ответ: П max = 28 .
      Пример         2.    Общие       издержки          производства     заданы      функцией
TC = 0.5 x 2 + 0.6 xy + 0.4 y 2 + 700 x + 600 y + 2000 , где х и у – соответственно ко-
личество товаров А и В. Общее количество произведенной продукции должно
быть 500 ед. Сколько единиц товара А и В нужно производить, чтобы издержки
на их изготовление были минимальными?
      Решение. Согласно условию задачи x + y = 500 ⇒ ϕ ( x; y ) = x + y − 500 .
Составим функцию Лагранжа:
u = 0.5 x 2 + 0.6 xy + 0.4 y 2 + 700 x + 600 y + 2000 + λ ( x + y − 500 ) .
Находим частные производные и составляем необходимые условия функции
           ⎧ ∂u
           ⎪ ∂x = x + 0.6 y + 700 + λ = 0,
           ⎪                                     ⎧ x = 0,
                                                 ⎪
Лагранжа: ⎪⎨ ∂u = 0.6 x + 0.8 y + 600 + λ = 0, ⇒ ⎨ y = 500, ⇒
           ⎪ ∂y                                  ⎪λ = −1000.
           ⎪ x + y − 500 = 0,                    ⎩
           ⎪
           ⎩
      М0(0; 500) при λ = −1000 - стационарная точка.
      Найдём значения частных производных второго порядка и подставим в
                               0         ϕ ′x (M 0 ; λ 0 ) ϕ ′y (M 0; λ 0 )       0 1     1
определитель Δ = − ϕ ′x (M 0 ; λ 0 )        ′ (M 0 ; λ 0 ) u ′xy
                                         u ′xx                 ′ (M 0 ; λ 0 ) = − 1 1 0.6 = 0.6 .
                   ϕ ′y (M 0 ; λ 0 )                           ′ (M 0 ; λ 0 )
                                            ′ ( M 0 ; λ 0 ) u ′yy
                                         u ′xy                                    1 0 .6 0 .8

      Так как Δ > 0 ⇒ в точке М0(0; 500) условный минимум.
      Ответ: для того чтобы издержки были минимальны при данных условиях
необходимо произвести 0 ед. товара А и 500 ед. товара В.




                                                    70

Страницы