Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 30 стр.

                       §2. Определенный интеграл

               2.1. Основные понятия и методы решения
                            определенного интеграла

     Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x) [см. § 1]. Ра-
зобьём отрезок [a, b] произвольным образом на п частей точками
a = x0 < x1 < ... < x n = b . На каждом отрезке [xi −1 , xi ] длины Δxi = xi − xi −1 выбе-
                                                                       n
рем произвольную точку ξ i . Составим сумму                         ∑ f (ξ )Δx
                                                                      i =1
                                                                                 i           i   , называемую ин-

тегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].
     Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] называ-
ется число равное пределу интегральных сумм при стремлении к нулю
                                    максимальной из длин отрезков разбиения:
    y                               b                           n

                                    ∫   f ( x )dx = lim
                                                    max Δxi →0
                                                               ∑ f (ξ )Δx ,
                                                               i =1
                                                                             i       i           этот предел коне-
                                    a                 1≤i ≤ n


                                    чен и не зависит от способов разбиения от-
                                    резка [a, b] на части и выбора точек
0 a=x0      xi ξi     xn=b x
                                    ξ1 , ξ 2 , ...,ξ n , на отрезках [x0 ; x1 ], ...,[xn −1 ; xn ] .
                                                                                         b
        Определённый интеграл обозначается символом                                      ∫ f ( x )dx , где а назы-
                                                                                         a


вается нижним пределом, b называется верхним пределом, х называется пе-
ременной интегрирования, f(x) называется подынтегральной функцией,
f(x)dx называется подынтегральным выражением, [a, b] – отрезок интег-
рирования.
        Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция y = f ( x ) ≥ 0 . Фи-
гура, ограниченная сверху графиком функции y = f ( x ) , снизу – осью Ox,
сбоку прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией.
        Геометрический смысл определённого интеграла: определённый
интеграл равен площади «криволинейной трапеции» ограниченной функ-

                                              29