Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

30
цией )(xfy = , осью ОY, и прямыми х=а и у=b.
Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то опреде-
лённый интеграл
∫
b
a
dxxf )(
существует.
Отметим, что если оставить постоянным нижний предел интегриро-
вания а, а верхний х
изменить так, что бы
[
]
bax ;
∈
, то величина интеграла
будет изменяться. Интеграл:
() ( )
[]
∫
∈Φ=
x
a
baxxdttf ;,
, называется определён-
ным интегралом с переменным верхним пределом
и является функцией
верхнего предела х.
Теорема (Связь между неопределённым интегралом и опреде-
лённым интегралами)
. Всякая непрерывная на отрезке [a, b] функция
)(xf имеет первообразную, равную интегралу
()
∫
x
a
dttf
, и тогда согласно оп-
ределению неопределённого интеграла имеет место равенство
() ()
Cdttfdxxf
x
a
+=
∫∫
.
Теорема
(Ньютона – Лейбница). Если функция F(x) – какая- либо
первообразная от непрерывной функции f(x), то
∫
−=
b
a
aFbFdxxf )()()(
– это
выражение известно под названием формулы
Ньютона – Лейбница
4
.
4
Лейбниц Готфрид Вильгельм (1.7.1646 – 14. 11.1716) – немецкий философ-
идеалист, математик, физик и изобретатель, юрист, историк, языковед. Ввел впервые
обозначение интеграла.
Ньютон Исаак (4.1.1643 – 31.3.1727) – английский физик и математик, создавший
теоретические основы механики и астрономии. Ньютон вычислял интеграл любой сте-
пенной функции. Математика для него была главным орудием в физических изыскани-
ях. 
цией y = f (x ) , осью ОY, и прямыми х=а и у=b.
            Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то опреде-
                              b
лённый интеграл               ∫ f ( x )dx
                              a
                                            существует.

            Отметим, что если оставить постоянным нижний предел интегриро-
вания а, а верхний х изменить так, что бы x ∈ [a; b] , то величина интеграла
                                               x
будет изменяться. Интеграл:                    ∫ f (t )dt = Φ (x ), x ∈ [a; b] ,
                                               a
                                                                                   называется определён-

ным интегралом с переменным верхним пределом и является функцией
верхнего предела х.


            Теорема (Связь между неопределённым интегралом и опреде-
лённым интегралами). Всякая непрерывная на отрезке [a, b] функция
                                                                         x
f (x ) имеет первообразную, равную интегралу                             ∫ f (t )dt , и тогда согласно оп-
                                                                         a


ределению              неопределённого               интеграла            имеет       место       равенство
               x

∫   f ( x )dx = ∫ f (t )dt + C .
               a




        Теорема (Ньютона – Лейбница). Если функция F(x) – какая- либо
                                                                             b

первообразная от непрерывной функции f(x), то                                ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a)
                                                                             a
                                                                                                          – это

выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница4.



        4
       Лейбниц Готфрид Вильгельм (1.7.1646 – 14. 11.1716) – немецкий философ-
идеалист, математик, физик и изобретатель, юрист, историк, языковед. Ввел впервые
обозначение интеграла.
     Ньютон Исаак (4.1.1643 – 31.3.1727) – английский физик и математик, создавший
теоретические основы механики и астрономии. Ньютон вычислял интеграл любой сте-
пенной функции. Математика для него была главным орудием в физических изыскани-
ях.


                                                         30

Страницы