Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

31
Основные свойства определенного интеграла:
1.
∫∫
=
b
a
b
a
dxxfAdxxAf )()(
.
2.
∫∫∫
±=±
b
a
b
a
b
a
dxxfdxxfdxxfxf )()())()((
2121
.
3.
0)( =
∫
a
a
dxxf
.
4.
Если f(x) ≤
ϕ
(x) на отрезке [a, b] a < b, то
∫∫
≤
b
a
b
a
dxxdxxf )()(
ϕ
.
5.
Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения
функции f(x) на отрезке [a, b], то:
∫
−≤≤−
b
a
abMdxxfabm )()()(
.
6.
Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то
на этом отрезке существует точка ε такая, что
)()()(
ε
fabdxxf
b
a
−=
∫
.
7.
Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:
∫∫∫
+=
b
a
b
c
c
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
, где равенство выполняется, если сущест-
вует каждый из входящих в него интегралов.
8.
∫∫
−=
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
.
9.
∫
∫
−
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
−
=
a
a
a
функциячётнаяxеслиfdxxf
функциянечётнаяxеслиf
dxxf
0
.)(,)(2
,)(,0
)(
Методы интегрирования определенного интеграла:
1. Непосредственное интегрирование.
Пример:
3
2
3
1
3
1
3
0cos
3
)3cos(
3
)3cos(
)3sin(
0
0
=+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−=−=
∫
π
π
π
x
dxx
. 
         Основные свойства определенного интеграла:
     b                  b

1.   ∫ Af ( x)dx = A∫ f ( x)dx .
     a                  a

     b                           b              b

2.   ∫ ( f1 ( x) ± f 2 ( x))dx = ∫ f1 ( x)dx ± ∫ f 2 ( x)dx .
     a                           a              a

     a

3.   ∫ f ( x)dx = 0 .
     a

                                                                     b              b

4.   Если f(x) ≤ ϕ(x) на отрезке [a, b] a < b, то ∫ f ( x)dx ≤ ∫ ϕ ( x)dx .
                                                                     a              a


5.   Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения
                                                                         b

     функции f(x) на отрезке [a, b], то: m(b − a) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (b − a) .
                                                                         a


6.   Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то
                                                                              b

     на этом отрезке существует точка ε такая, что                            ∫ f ( x)dx = (b − a) f (ε ) .
                                                                              a


7.   Для          произвольных           чисел         a,       b,   c       справедливо          равенство:
     b              c                b

     ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx ,
     a              a                c
                                                    где равенство выполняется, если сущест-

     вует каждый из входящих в него интегралов.
         b              a

8.       ∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx .
         a              b



         a
                         ⎧0, еслиf ( x ) − нечётная функция,
                         ⎪ a
9.       ∫−a f ( x )dx = ⎨2∫ f ( x )dx, еслиf ( x ) − чётная функция.
                         ⎪
                         ⎩ 0
     Методы интегрирования определенного интеграла:
1. Непосредственное интегрирование.
              π
                                 cos(3x )   π        cos(3π ) ⎛ cos 0 ⎞ 1 1 2
Пример:       ∫ sin(3x )dx = −
              0
                                    3       0
                                                =−
                                                        3
                                                             − ⎜−
                                                               ⎝
                                                                      ⎟= + = .
                                                                  3 ⎠ 3 3 3




                                                        31

Страницы