Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 34 стр.

                             Формула прямоугольников
      Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).
       y                                       Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей,
                                                                                        b−a
                                               длины которых равны Δx =                     = xi − xi −1 , где
                                                                                         n
                                               x1, x2, … xn – точки разбиения. Тогда можно

  0 a=x0         xi ξi       xn=b x            записать, что xi = x0 + h ⋅ i (i = 1, n) .
      При таком разбиении имеем прямоугольники, площадь которых равна
                                            xi −1 + xi
Δx ⋅ y i , где y i = f (ξ i ) , а ξ i =                – некоторая точка на отрезке, которая в
                                                 2
частности выбирается середина отрезка [xi −1 ; xi ] .
      Тогда сумма площадей всех прямоугольников дает площадь ступенча-
той фигуры, представляющую собой приближенное значение определен-
ного интеграла и называемое общей формулой прямоугольников:
                                        b
                                                       b−a
                                        ∫ f ( x)dx ≈
                                        a
                                                        n
                                                           ( y1 + y 2 + ... + y n ) .


                                        Формула трапеций
      Эта формула является более точной по сравнению с формулой
                                                       прямоугольников.
        y
                                                              Подынтегральная функция в этом
                                                       случае заменяется на вписанную лома-

       y1 y2                       yn                  ную. Геометрически площадь криволи-
                                                       нейной трапеции заменяется суммой
  0        a   x1 x2           b                x
                                                       площадей вписанных трапеций.
      Замечание: чем больше взять точек n разбиения интервала, тем с
большей точностью будет вычислен интеграл.
      Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:
                                   y 0 + y1         y1 + y 2          y + yn
                                            Δx;              Δx; ... , n −1   Δx ;
                                       2               2                    2



                                                         33