Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

35
2
0
2
0
23
)(
23
2
x
x
x
x
Cx
x
B
x
AdxCBxAxS
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++=++=
∫
Если обозначим
02
2 xxh
−
= и
примем х
0
= -h, x
1
= 0, x
2
= h, то )62(
3
2
CAh
h
S += (2)
Выразается S через величины (1):
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
CBhAhy
Cy
CBhAhy
++=
=
+−=
2
2
1
2
0
C учетом этого:
CAhyyy 624
2
210
+=++ .
Отсюда выражение (2) примет вид:
)4(
3
210
yyy
h
S ++=
Тогда для каждой пары отрезков имеется:
,)4(
3
)(),4(
3
)(
432210
2
2
2
0
yyy
h
dxxfyyy
h
dxxf
x
x
x
x
++≈++≈
∫∫
. . .
Суммируя эти выражения, получаем формулу называемую формулой
Симпсона
:
[]
)...(4)...(2
6
)(
1231224220 −−
+++++++++
−
=
∫
mmm
b
a
yyyyyyyy
m
ab
dxxf
Пример:
Вычислим приближенное значение определенного интеграла
dxx
∫
−
+
8
2
3
16 с помощью формулы Симпсона и формулы трапеций, разбив
отрезок интегрирования на 10 частей. По формуле Симпсона получим:
)]].7(
)5()3()1()1([4)]6()4()2()0([2)8()2([
56
28
16
8
2
3
y
yyyyyyyyyydxx
+
++++−++++++−
⋅
+
≈+
∫
−
m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 2.828 3.873 4 4.123 4.899 6.557 8.944 11.874 15.232 18.947 22.978
151.91]]947.18874.11
557.6123.4873.3[4]232.15944.8899.44[2978.22828.2[
56
28
16
8
2
3
=++
+++++++++
⋅
+
≈+
∫
−
dxx
Точное значение этого интеграла: 91.173.
Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций. 
              x
            2
                                   ⎡ x3    x2      ⎤ x2
       S = ∫ ( Ax 2 + Bx + C )dx = ⎢ A + B    + Cx ⎥                         Если обозначим 2h = x 2 − x0 и
           x0                      ⎣ 3     2       ⎦ x0

                                                        h
примем х0 = -h, x1 = 0, x2 = h, то S = (2 Ah 2 + 6C ) (2)
                                                        3

                                                                   ⎧        y 0 = Ah 2 − Bh + C
                                                                   ⎪
       Выразается S через величины (1):                            ⎨        y1 = C
                                                                   ⎪
                                                                   ⎩        y 2 = Ah 2 + Bh + C

       C учетом этого: y 0 + 4 y1 + y 2 = 2 Ah 2 + 6C .
                                                                                  h
       Отсюда выражение (2) примет вид:                                     S=      ( y 0 + 4 y1 + y 2 )
                                                                                  3
      Тогда для каждой пары отрезков имеется:
      x2                                      x2
                     h                                         h
       ∫
      x0
           f ( x)dx ≈ ( y0 + 4 y1 + y 2 ),
                     3                        ∫ f ( x)dx ≈ 3 ( y
                                              x2
                                                                       2   + 4 y3 + y 4 ) , . . .


      Суммируя эти выражения, получаем формулу называемую формулой
                  b
                                 b−a
Симпсона:         ∫ f ( x)dx =       [ y 0 + y 2 m + 2( y 2 + y 4 + ... + y 2m−2 ) + 4( y1 + y3 + ... + y 2m−1 )]
                  a
                                  6m

Пример:
           Вычислим            приближенное              значение                 определенного            интеграла
8

∫
−2
     x 3 + 16dx с помощью формулы Симпсона и формулы трапеций, разбив

отрезок интегрирования на 10 частей. По формуле Симпсона получим:
8
                      8+2
∫
−2
     x 3 + 16dx ≈
                      6⋅5
                          [ y (−2) + y (8) + 2[ y (0) + y (2) + y (4) + y (6)] + 4[ y (−1) + y (1) + y (3) + y (5) +

+ y (7)]].


    m      0     1      2     3      4        5       6        7        8         9        10
     x    -2    -1      0    1       2        3       4        5        6         7        8
   f(x) 2.828 3.873 4 4.123 4.899 6.557 8.944 11.874 15.232 18.947 22.978
 8
               8+2
∫−2 x + 16dx ≈ 6 ⋅ 5 [2.828 + 22.978 + 2[4 + 4.899 + 8.944 + 15.232] + 4[3.873 + 4.123 + 6.557 +
       3



+ 11.874 + 18.947]] = 91.151

           Точное значение этого интеграла: 91.173.
Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.

                                                          35

Страницы