Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

36
352.91)947.18232.15874.11944.8557.6899.4
123.44873.3
2
978.22828.2
10
28
...
2
16
121
0
8
2
3
=++++++
⎜
⎝
⎛
++++
++
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++++
+
−
≈+
−
−
∫
n
n
yyy
yy
n
ab
dxx
2.3. Несобственные интегралы
1. Несобственные интегралы первого рода
Если функция
)(xfy =
определена и непрерывна на любом отрезке
[a,b], то
несобственным интегралом с бесконечным пределом или не-
собственным интегралом первого рода
называется интеграл:
∫∫
+∞
+∞→
=
a
b
a
b
dxxfdxxf )()(lim
или
∫∫
∞−
−∞→
=
bb
a
a
dxxfdxxf )()(lim
, или
∫∫∫
+∞
∞−
+∞→−∞→
=+ dxxfdxxfdxxf
b
c
b
c
a
a
)()(lim)(lim
, с – произвольное число.
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл
называется
сходящимся; если предел не существует или бесконечен, то
несобственный интеграл называется
расходящимся.
Теоремы о сходимости и расходимости:
1.
Если на промежутке );[ ∞+a непрерывные функции )(xf и )(x
ϕ
удовле-
творяют условию:
)()(0 xxf
ϕ
≤≤
, то из сходимости интеграла
∫
+∞
a
dxx)(
ϕ
сле-
дует сходимости интеграла
∫
+∞
a
dxxf )(
, а из расходимости интеграла
∫
+∞
a
dxxf )(
следует расходимость интеграла
∫
+∞
a
dxx)(
ϕ
(«признак сравнения»).
2.
Если при 0)(,0)(),;[ >>∞+∈ xxfax
ϕ
и существует конечные предел
0
)(
)(
lim ≠=
+∞→
k
x
xf
x
ϕ
, то интегралы
∫
+∞
a
dxxf )(
и
∫
+∞
a
dxx)(
ϕ
сходятся или расходятся
одновременно («предельный признак сравнения»).
3.
Если сходится интеграл
∫
+∞
a
dxxf )(
, то сходится и интеграл
∫
+∞
a
dxxf )(
, кото-
                       b − a ⎛ y0 + yn
8
                                                                 ⎞ 8 + 2 ⎛ 2.828 + 22.978
∫
−2
     x 3 + 16dx ≈            ⎜
                         n ⎝ 2
                                       + y1 + y 2 + ... + y n −1 ⎟ =
                                                                 ⎠   10 ⎝
                                                                         ⎜
                                                                                  2
                                                                                          + 3.873 + 4 + 4.123 +

+ 4.899 + 6.557 + 8.944 + 11.874 + 15.232 + 18.947) = 91.352


                         2.3. Несобственные интегралы
1. Несобственные интегралы первого рода
       Если функция y = f ( x) определена и непрерывна на любом отрезке
[a,b], то несобственным интегралом с бесконечным пределом или не-
собственным интегралом первого рода называется интеграл:
                b                +∞                               b                b
       lim
       b → +∞   ∫
                a
                    f ( x)dx =    ∫
                                  a
                                      f ( x)dx или lim
                                                         a → −∞   ∫
                                                                  a
                                                                      f ( x)dx =   ∫ f ( x)dx , или
                                                                                   −∞

                c                         b             +∞
       lim
       a → −∞   ∫ f ( x)dx + lim ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx , с – произвольное число.
                a
                                 b → +∞
                                          c             −∞


       Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл
называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, то
несобственный интеграл называется расходящимся.
       Теоремы о сходимости и расходимости:
1. Если на промежутке [a; + ∞) непрерывные функции f (x) и ϕ (x) удовле-
                                                                                                           +∞
творяют условию: 0 ≤ f ( x) ≤ ϕ ( x) , то из сходимости интеграла                                          ∫ ϕ ( x)dx сле-
                                                                                                           a

                                                   +∞                                                           +∞
дует сходимости интеграла                          ∫a
                                                        f ( x)dx , а из расходимости интеграла                  ∫ f ( x)dx
                                                                                                                a

                                                              +∞
следует расходимость интеграла ∫ ϕ ( x)dx («признак сравнения»).
                                                               a


2. Если при x ∈ [a; + ∞), f ( x) > 0, ϕ ( x) > 0 и существует конечные предел
                                                         +∞                   +∞
       f ( x)
lim
x → +∞ ϕ ( x )
               = k ≠ 0 , то интегралы                     ∫
                                                          a
                                                              f ( x)dx и       ∫ ϕ ( x)dx
                                                                               a
                                                                                            сходятся или расходятся

одновременно («предельный признак сравнения»).
                                               +∞                                                     +∞
3. Если сходится интеграл                      ∫
                                               a
                                                        f ( x) dx , то сходится и интеграл            ∫ f ( x)dx , кото-
                                                                                                      a




                                                                       36

Страницы