Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

38
2. Пусть функции )(xf и )(x
ϕ
непрерывны на промежутке );[ ba и в точке
bx =
терпит разрыв II-го рода. Если существует предел
∞<<=
+∞→
kk
x
xf
x
0,
)(
)(
lim
ϕ
, то интегралы
∫
b
a
dxxf )( и
∫
b
a
dxx)(
ϕ
сходятся или расхо-
дятся одновременно («предельный признак сравнения»).
3.
Если функция )(xf , знакопеременная на отрезке ];[ ba , имеет разрыв в
точке
bx =
, и несобственный интеграл
∫
b
a
dxxf )( сходится, то сходится и
интеграл
∫
b
a
dxxf )(
.
2.4. Задания для самопроверки №2
Вычислить:
1.
∫
+
9
0
1 x
dx
Ответ: 6-2ln4
2.
∫
3
6
3
)(sin
)cos(
π
π
dx
x
x
Ответ:
3
4
3.
∫
−
−
1,0
1,0
2
2
dxxe
x
Ответ: 0
4.
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
0
3
6
sin dx
x
Ответ: 4
4
39
+−
5.
∫
4
0
2
)(cos
π
dx
x
x
Ответ: 2ln
4
−
π
6.
∫
∞
1
α
x
dx
Ответ:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<∞
>
−
.1
,1
1
1
β
α
α
при
при
7.
∫
∞
∞−
+
2
1 x
dx
Ответ: π
8. Исследовать на сходимость несобственные интегралы: 
2. Пусть функции f (x) и ϕ (x) непрерывны на промежутке [a; b) и в точке
x=b                    терпит          разрыв   II-го   рода.         Если         существует   предел
                                                        b               b
       f ( x)
 lim
x → +∞ ϕ ( x )
               = k , 0 < k < ∞ , то интегралы           ∫ f ( x)dx
                                                        a
                                                                     и ∫ ϕ ( x)dx сходятся или расхо-
                                                                        a


дятся одновременно («предельный признак сравнения»).
3. Если функция f (x) , знакопеременная на отрезке [a; b] , имеет разрыв в
                                                                b
точке x = b , и несобственный интеграл                         ∫     f ( x) dx сходится, то сходится и
                                                                a

                        b
интеграл                ∫ f ( x)dx .
                        a


                                 2.4. Задания для самопроверки №2
Вычислить:
     9
              dx
1.   ∫ 1+
     0             x
                                                               Ответ: 6-2ln4

     π
     3
          cos( x)                                                           4
2.   ∫
     π sin
            3
              ( x)
                   dx                                         Ответ:
                                                                            3
     6

     0 ,1         x2
              −
3.    ∫ xe
     − 0 ,1
                  2
                       dx                                      Ответ: 0

     π
4. ∫ sin 3 ⎛⎜ ⎞⎟dx
             x                                                                  9 3
                                                              Ответ: −              +4
     0         ⎝ 6⎠                                                              4
     π
     4
               x                                                            π
5.   ∫ cos
     0
               2
                   ( x)
                            dx                                Ответ:
                                                                            4
                                                                                − ln 2


                                                                      ⎧ 1
     ∞
                                                                             при α > 1,
                                                              Ответ: ⎪⎨α − 1
         dx
6.   ∫   xα
     1                                                                ⎪⎩∞    при β < 1.
     ∞
              dx
7.   ∫ 1+ x
     −∞
                   2
                                                              Ответ: π

8. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:



                                                        38

Страницы