Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

40
∫
=
b
a
dyyV )(
2
ϕπ
, где V – объем тела, полученного вра-
щением криволинейной трапеции 0
≤
x
≤
ϕ
(y),
c
≤
y
≤
d вокруг оси ОУ.
3. Площади плоских фигур, длины дуг кривых, площадь поверхности тела
вращения рассмотрим в таблице 8.
Таблица 8.
В прямоугольных координатах В полярных
координатах
y=f(x) на
[]
ba; или
x=φ(y )на
[]
dc;
⎩
⎨
⎧
=
=
),(
),(
tyy
txx
(
)
β
α
;
∈
t
),(
ϕ
rr
=
()
β
α
ϕ
;∈ .
Площадь плоских фигур
∫
=
b
a
dxxfS )( или
∫
=
d
c
dyyS )(
ϕ
∫
′
⋅=
β
α
dttxtyS )()(
()
ϕϕ
β
α
drS
∫
=
2
2
1
Длины дуг кривых
()
dxxfl
b
a
∫
′
+=
2
)(1
или
()
dxyl
d
c
∫
′
+=
2
)(1
ϕ
()()
dttytxl
∫
′
+
′
=
β
α
22
)()(
()
ϕϕϕ
β
α
drrl
∫
′
+=
2
2
)()(
Вычисление площади поверхности вращения
()
dxxxS
b
a
∫
′
+=
2
)(1)(2
ϕϕπ
()()
dttytxtyS
∫
′
+
′
=
β
α
π
22
)()()(2
()
ϕϕϕϕπ
β
α
drrrS
∫
′
+⋅=
2
2
)()()sin(2
х=ϕ(у) 
                                                     b
                                              V = π ∫ ϕ 2 ( y )dy , где V – объем тела, полученного вра-
                                                     a


                            х=ϕ(у)            щением криволинейной трапеции 0≤ x ≤ ϕ(y),
                                              c ≤ y ≤ d вокруг оси ОУ.




3. Площади плоских фигур, длины дуг кривых, площадь поверхности тела
вращения рассмотрим в таблице 8.
                                                                                                                         Таблица 8.
                          В прямоугольных координатах                                                              В полярных
                                                                                                                   координатах
    y=f(x) на [a; b] или                                     ⎧ x = x (t ),                                    r = r (ϕ ), ϕ ∈ (α ; β ) .
                                                             ⎨             t ∈ (α ; β )
                                                             ⎩ y = y (t ),
      x=φ(y )на [c; d ]
                                               Площадь плоских фигур
                  b                                                 β                                                   β
                                                                                                                    1
     S=           ∫   f ( x) dx или                           S = ∫ y (t ) ⋅ x ′(t )dt                        S=        ∫ r (ϕ )    dϕ
                                                                                                                            2

                  a                                                 α
                                                                                                                    2   α

                      d
          S=          ∫ ϕ ( y)
                      c
                                     dy


                                                     Длины дуг кривых
      b                                                       β                                                β
 l = ∫ 1 + ( f ′( x ) ) dx или                           l=∫      (x ′(t ) )2 + ( y ′(t ) )2 dt          l = ∫ r 2 (ϕ ) + (r ′(ϕ ) ) dϕ
                                 2                                                                                                     2

      a                                                      α                                                 α

              d
     l = ∫ 1 + (ϕ ′( y ) ) dx
                                     2

              c


                           Вычисление площади поверхности вращения
          b                                              β                                                β

S = 2π ∫ ϕ ( x) 1 + (ϕ ′( x) ) dx              S = 2π ∫ y (t )    (x′(t ))2 + ( y ′(t ) )2 dt     S = 2π ∫ r sin(ϕ ) ⋅ r 2 (ϕ ) + (r ′(ϕ ) ) dϕ
                                          2                                                                                                2

                                                                                                          α
          a                                              α




                                                                        40

Страницы