Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 43 стр.

                         (           )
  x ′ = 2t sin(t ) + t 2 − 2 cos(t ) + 2 cos(t ) − 2t sin(t ) = t 2 cos(t );
                             (           )
  y ′ = −2t cos(t ) − 2 − t 2 sin(t ) + 2 sin(t ) + 2t cos(t ) = t 2 sin(t ).
           π                                         π                        π
           2                                         2
                                                              1               2       π3
  L=∫          t 4 cos 2 (t ) + t 4 sin 2 (t ) dt = ∫ t 2 dt = ⋅ t 3              =        (ед)
           0                                        0
                                                              3               0       24


  в) r = 1 − sin(ϕ ), − π 2 ≤ ϕ ≤ − π 6 .

  Найдём производную r ′ = − cos(ϕ )
           π                                                 π                                                   π
       −                                                 −                                                       −
           6                                                 6                                                       6

           ∫π (1 − sin(ϕ)) + (− cos(ϕ)) dϕ = ∫π                      1 − 2 sin(ϕ ) + sin2 (ϕ ) + cos2 (ϕ )dϕ =   ∫π 2(1 − sin(ϕ))dϕ =
                          2            2
  L=
       −                                                 −                                                       −
           2                                                 2                                                       2
           π                                                     π
       −                                                     −
            ⎛π ϕ ⎞         ⎛π ϕ ⎞ 6
           6
  = 2 ∫ sin ⎜ − ⎟dϕ = 4 cos⎜ − ⎟ = 2 (ед )
     −
       π    ⎝4 2⎠          ⎝ 4 2 ⎠ −π
           2                                                     2


3. Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды
     r = a (1 + cos(ϕ ) ) вокруг полярной оси (рис. см. приложение №1).

  Решение:
                                                                                            π
                                            ⎛ϕ ⎞                                      ⎛ϕ ⎞
  r ′(ϕ ) = − a sin (ϕ ) , r + r ′ = 4a cos ⎜ ⎟ ⇒ S = 4πa 2 ∫ (1 + cos(ϕ ))sin (ϕ )cos⎜ ⎟dϕ
                                 2           2   2       2

                                            ⎝2⎠             0                         ⎝2⎠
           π                                  π
                    ϕ        ϕ                          ϕ ⎡        ϕ ⎤ 32
  = 16πa 2 ∫ cos4 ⎛⎜ ⎞⎟ sin⎛⎜ ⎞⎟dϕ = − 32πa 2 ∫ cos 4 ⎛⎜ ⎞⎟d ⎢cos⎛⎜ ⎞⎟⎥ = πa 2 (ед. кв.)
               0       ⎝2⎠           ⎝2⎠                             0     ⎝2⎠ ⎣            ⎝ 2 ⎠⎦   5
                                                                                                         x 2 y2
4. Найти объем тела, образованного вращением эллипса                                                        +   = 1 вокруг
                                                                                                         a 2 b2
  оси Ох.
  Решение:
  Так как эллипс симметричен относительно осей координат, то достаточ-
  но найти половину искомого объема и полученный результат удвоить.
         a                                                                                                               a
  1                               ⎛         ⎞                                          2 3
    V = π∫ y 2 ( x )dx = π ∫ b 2 ⎜⎜1 − x 2 ⎟⎟dx = πb 2 ∫ dx − πb2 ∫ x 2dx = πb 2 x − πb x2 =
                           a             2             a         2 a              a

  2      0                 0      ⎝ a ⎠                0       a 0                0   3a 0

                               4
  = 2 πab 2 . Следовательно V = πab 2 .
    3                          3



                                                                         42