Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 42 стр.

Примеры:
1. Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций:

  а) y = x 9 − x , y = 0, (0 ≤ x ≤ 3).
                2



  Решение:

                         9 − x2 = t ⇒ 9 − x2 = t 2
      3                                                0           3
                       xdx = −tdt                                             t3
  S = ∫ x 9 − x 2 dx =                             = − ∫ t ⋅ tdt = ∫ t 2 dt =               3
                                                                                            0   = 9(кв.ед)
      0                x=0⇒t =3                        3           0
                                                                              3
                       x =3⇒t = 0
                                                                   у
                                                                         2 2
      ⎧ x = 2 cos(t ),                                                                      у =2
  б) ⎪⎨                y=2 ( y ≥ 2 ).
     ⎪⎩ y = 2 2 sin(t ),
                                                                                     0          2    х
  Решение:
         π                                                  3π                   3π


                           (                  )
         4                                                   4                    4
  S=     ∫π 2   2 sin(t ) − 2 sin(t ) dt − 2 ⋅ 2 = 4 ∫ sin 2 (t )dt − 4 = 2 ∫ (1 − cos(2t ) )dt − 4 =
         3                                                  π                    π
          4                                                 4                    4
                               3π
     ⎛ 1           ⎞            4
  = 2⎜1 − sin(2t ) ⎟                − 4 = π − 2 (кв.ед) .
     ⎝ 2           ⎠           π
                               4


2. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями.

  а) y = − arccos x + x − x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 4.
  Найдём сначала производную
               1    1   1 − 2x       2 − 2x     1− x
  y′ =            ⋅   +          =            =
              1− x 2 x 2 x − x 2
                                   2 x ⋅ 1− x    x
         1                                1                      1                    1         1
                                    2
         4
                   ⎛ 1− x ⎞            1− x
                                          4                      4
                                                                      x +1− x         4
                                                                                     dx      4
  L=∫         1 + ⎜⎜      ⎟ dx = ∫ 1 +      dx = ∫                            dx = ∫    = 2 x = 1 (ед )
         0         ⎝  x ⎟⎠       0
                                        x        0
                                                                         x         0  x      0




                (      )
     ⎧ x = t 2 − 2 sin(t ) + 2t cos(t ),
  б) ⎨                                    0≤t ≤π
     ⎩ y = 2  − (
                t 2
                       )
                    cos(t ) + 2t sin(t ).        2

  Найдём производные




                                                                 41