Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

39
a)
∫
−
1
0
4
1 x
dx
Ответ: сходится
b)
∫
+−
3
1
2
127xx
dx
Ответ: расходится
c)
dx
x
xarctg
∫
∞
+
0
2
)41(
)2(
π
Ответ: сходится
d)
∫
1
0
3
1
dx
x
e
x
Ответ: расходится
2.5. Геометрические приложения определенного
интеграла
1. Вычисление объём тела по известным площадям параллельных сечений
Пусть тело, заключеное между двумя
плоскостями x=a и x=b, имеет площадь
сечения S(x) при
[
]
bax ;
∈
∀
, проведенно-
го перпендикулярно к оси Ох, и кото-
рое является известной и непрерывной
изменяющейся при изменении х.
Тогда объем этого тела вычисляется по формуле
∫
=
b
a
dxxSV )(
.
2. Объёмы тел вращения
Пусть кривая, задана уравнением y = f(x). Предположим, что функ-
ция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволи-
нейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим
так называемое тело вращения.
∫
=
b
a
dxxfV )(
2
π
, где V – объем тела, полученного вра-
щением криволинейной трапеции 0
≤
y
≤
f(x),
a
≤
x
≤
b вокруг оси Ох.
y
=f
(
x
)
x
a
b
S(x) 
     1
                 dx
a)   ∫
     0       1 − x4
                                                         Ответ: сходится

     3
                   dx
b)   ∫x
     1
             2
                 − 7x + 12
                                                         Ответ: расходится

     ∞
         arctg ( 2 x )
c)   ∫ π (1 + 4 x
     0
                   2
                     )
                       dx                                Ответ: сходится

             1
     1
         e   x
d)   ∫x
     0
             3
                 dx                                      Ответ: расходится

                 2.5. Геометрические приложения определенного
                                             интеграла
1. Вычисление объём тела по известным площадям параллельных сечений
                                                  Пусть тело, заключеное между двумя
                                                  плоскостями x=a и x=b, имеет площадь
                                                  сечения S(x) при ∀x ∈ [a; b], проведенно-
                             S(x)
                                                  го перпендикулярно к оси Ох, и кото-
                                                  рое является известной и непрерывной
                 a                       b        изменяющейся при изменении х.
                                                                           b
         Тогда объем этого тела вычисляется по формуле V = ∫ S ( x )dx .
                                                                           a


2. Объёмы тел вращения
      Пусть кривая, задана уравнением y = f(x). Предположим, что функ-
ция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволи-
нейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим
так называемое тело вращения.
         y=f(x)                          b
                                    V = π ∫ f 2 ( x )dx , где V – объем тела, полученного вра-
                                         a



                             x      щением криволинейной трапеции 0 ≤ y ≤ f(x),
                                    a ≤ x ≤ b вокруг оси Ох.




                                                    39

Страницы