Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

37
рый в этом случае называется абсолютно сходящимся.
Примеры:
1.
bbxxdxxdx
bb
b
b
b
b
sinlim)0sin(sinlimsinlimcoslimcos
0
00
∞→∞→∞→∞→
∞
=−===
∫∫
- не существует⇒
несобственный интеграл расходится.
2.
1
1
1lim
1
limlim
1
1
2
1
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−==
−∞→
−
−∞→
−
−∞→
−
∞−
∫∫
bx
x
dx
x
dx
b
b
b
b
b
- интеграл сходится.
2. Несобственные интегралы второго рода (интеграл от разрывной
функции)
Если функция
)(xfy =
непрерывна на промежутке
);[ ba
и имеет раз-
рыв II-го рода при
bx =
, то несобственным интегралом неограниченной
функции
или несобственным интегралом второго родва называется ин-
теграл:
∫∫
−
→
=
ε
ε
b
a
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
0
или
∫∫
+
→
=
b
a
b
a
dxxfdxxf
ε
ε
)(lim)(
0
, если функция терпит
бесконечный разрыв в точке
a
x
=
.
Если функция
)(xf терпит разрыв II-го рода во внутренней точке
];[ bac ∈
, то несобственным интегралом второго рода называют инте-
грал:
∫∫∫
+=
b
a
b
c
c
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
.
Замечание: внутренних точек разрыва II-го рода внутри отрезка может
быть несколько.
Теоремы о сходимости и расходимости:
1.
Если на промежутке );[ ba функции )(xf и )(x
ϕ
непрерывны, при
bx
=
терпит разрыв II-го рода и удовлетворяют условию:
)()(0 xxf
ϕ
≤
≤
, то из
сходимости интеграла
∫
b
a
dxx)(
ϕ
следует сходимости интеграла
∫
b
a
dxxf )(
, а из
расходимости интеграла
∫
b
a
dxxf )( следует расходимость интеграла
∫
b
a
dxx)(
ϕ
(«признак сравнения»). 
рый в этом случае называется абсолютно сходящимся.
Примеры:
  ∞                         b                                 b
1. ∫ cos xdx = lim ∫ cos xdx = lim sin x = lim(sin b − sin 0) = lim sin b - не существует ⇒
               b →∞            b →∞        b →∞                 b →∞
  0                         0                                 0


       несобственный интеграл расходится.
      −1               −1
                              1 −1
2. ∫ 2 = lim ∫ 2 = lim ⎡⎢− ⎤⎥ = lim ⎛⎜1 + ⎞⎟ = 1 - интеграл сходится.
      dx          dx                      1
   −∞ x
         b → −∞
                b x
                     b → −∞
                            ⎣ x ⎦ b b→−∞⎝ b ⎠

2. Несобственные интегралы второго рода (интеграл от разрывной
функции)
           Если функция y = f ( x) непрерывна на промежутке [a; b) и имеет раз-
рыв II-го рода при x = b , то несобственным интегралом неограниченной
функции или несобственным интегралом второго родва называется ин-
                b                          b −ε                      b                     b
теграл:         ∫
                a
                    f ( x)dx = lim
                                    ε →0    ∫
                                            a
                                                  f ( x)dx или       ∫
                                                                     a
                                                                         f ( x)dx = lim
                                                                                   ε →0    ∫ f ( x)dx , если функция терпит
                                                                                          a +ε


бесконечный разрыв в точке x = a .
           Если функция f (x) терпит разрыв II-го рода во внутренней точке
c ∈ [ a; b] , то несобственным интегралом второго рода называют инте-
            b                   c                   b
грал:       ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx .
            a                   a                   c


           Замечание: внутренних точек разрыва II-го рода внутри отрезка может
быть несколько.
           Теоремы о сходимости и расходимости:
1. Если на промежутке [a; b) функции f (x) и ϕ (x) непрерывны, при x = b
терпит разрыв II-го рода и удовлетворяют условию: 0 ≤ f ( x) ≤ ϕ ( x) , то из
                                                   b                                                         b
сходимости интеграла ∫ ϕ ( x)dx следует сходимости интеграла                                                 ∫ f ( x)dx , а из
                                                   a                                                         a

                                                        b                                                           b
расходимости интеграла                                  ∫ f ( x)dx
                                                        a
                                                                         следует расходимость интеграла ∫ ϕ ( x)dx
                                                                                                                    a


(«признак сравнения»).

                                                                            37

Страницы