Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

43
5.Найти площадь поверхности шара радиуса R, рассматривая его как тело
вращения.
Решение.
Поверхность шара может быть образована вращением дуги полуокружно-
сти. Рассмотрим разные варианты задания уравнения окружности:
1)
Окружность задана в декартовых координатах:
а) полуокружность
22
xRy −= ,
RxR
≤
≤
−
вращение вокруг оси Ох.
Применяем формулу:
22
xR
x
y
−
−
=
′
,
22
22
2
2
1)(1
xR
R
xR
x
y
−
=
−
+=
′
+ ,
2
22
22
4222 RRxRdxdx
xR
R
xRS
R
R
R
R
R
R
x
ππππ
===
−
−=
−
−−
∫∫
.
б) полуокружность
22
yRx −= , RyR
≤
≤
−
вращение вокруг оси Оу.
Применяем формулу:
22
yR
y
x
−
−
=
′
,
22
22
2
2
1)(1
yR
R
yR
y
x
−
=
−
+=
′
+
,
2
22
222
4222)(12 RRyRdydy
yR
R
yRdyxxS
R
R
R
R
R
R
R
R
y
πππππ
===
−
−=
′
+=
−
−−−
∫∫∫
.
2)
Окружность задана параметрическими уравнениями:
⎩
⎨
⎧
=
=
).sin(
),cos(
tRy
tRx
.
Применяем формулу:
=
′
+
′
=
∫
dttRtRtRS
ttx
2
0
22
)))sin((()))cos((()sin(2
2
1
π
π
2
2
0
2
2
0
2))cos((2)sin(2 RtRRdttR
πππ
π
π
=−==
∫
. Следовательно,
2
4 RS
x
π
= .
3)
Окружность задана в полярных координатах.
Применяем формулу:
2
2
0
2
0
222
2))(cos(2)()sin(2
2
1
RRdRRRS
x
πϕπϕϕπ
π
π
==
′
+=
∫
.
Следовательно,
2
4 RS
x
π
= . 
5.Найти площадь поверхности шара радиуса R, рассматривая его как тело
  вращения.
Решение.
Поверхность шара может быть образована вращением дуги полуокружно-
сти. Рассмотрим разные варианты задания уравнения окружности:
1) Окружность задана в декартовых координатах:
  а) полуокружность y = R 2 − x 2 , − R ≤ x ≤ R вращение вокруг оси Ох.

                                                    −x                                               x2              R
  Применяем формулу: y ′ =                                           , 1 + ( y ′) 2 = 1 +                  =                 ,
                                                R2 − x2                                            R2 − x2      R2 − x2
             R                                              R
                                 R
  S x = 2π   ∫    R2 − x2                    dx = 2π ∫ Rdx = 2πRx                         = 4πR 2 .
                                                                                     R
                                                                                     −R
             −R                 R −x
                                 2     2
                                                            −R


  б) полуокружность x = R 2 − y 2 , − R ≤ y ≤ R вращение вокруг оси Оу.

                                                    −y                                          y2                   R
  Применяем формулу: x′ =                                            ,       1 + ( x ′) = 1 + 2
                                                                                     2
                                                                                                    =                        ,
                                                R −y2            2                           R − y2             R − y2
                                                                                                                    2


             R                           R                                                    R
                                                                          R
  S y = 2π ∫ x 1 + ( x ′) dy =2π
                            2
                                         ∫    R −y
                                                2           2
                                                                                    dy = 2π ∫ Rdy = 2πRy       R
                                                                                                               −R   = 4πR 2 .
             −R                        −R                            R −y2      2
                                                                                              −R


                                                                                                      ⎧ x = R cos(t ),
2) Окружность задана параметрическими уравнениями: ⎨                                                                   .
                                                                                                      ⎩ y = R sin(t ).
                                                        π
                                2
  Применяем формулу: 1 S x = 2π ∫ R sin(t ) (( R cos(t ))′t ) 2 + (( R sin(t ))′t ) 2 dt =
                                     2                  0

       π
        2                                           π
  = 2π ∫ R sin(t ) Rdt = 2πR 2 (− cos(t )) 02 = 2πR 2 . Следовательно, S x = 4πR 2 .
        0


3) Окружность задана в полярных координатах.
                                                        π
                              2                                                                                          π
                    1
  Применяем формулу: S x = 2π ∫ R sin(ϕ ) R 2 + ( R ′) 2 dϕ = 2πR 2 (cos(ϕ )) 02 = 2πR 2 .
                    2         0


  Следовательно, S x = 4πR 2 .




                                                                     43

Страницы