Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

45
Примеры:
1.
Цилиндр наполнен газом под атмосферным давлением (103,3 кПа). Счи-
тая газ идеальным, определить работу (в джоулях) при изотермическом
сжатии газа поршнем, переместившимся внутрь цилиндра на
h
=0,2 м
при H=0,4, R=0,1 м.
Решение:
Уравнение состояния газа
constpV
=
, где p – давление, V – объем.
Такая работа будет вычисляться по следующей формуле:
∫
=
2
1
V
V
pdVA .
Где
HRV
2
π
= , тогда
ππ
ππ
002,02,01,0
004,04,01,0
2
2
2
1
=⋅⋅=
=⋅⋅=
V
V
.
()
ДжVdVA 6,206103,103103,103
002,0
004,0
002,0
004,0
33
−=⋅=⋅=
∫
π
π
π
π
.
2. Найти статические моменты относительно осей координат и координаты
центра тяжести однородной (ρ=1) полуокружности
()
0
222
≥=+ yRyx .
Решение:
Имеем
22
2
22
22
1,,
xR
R
y
xR
x
yxRy
−
=
′
+
−
−
=
′
−=
. На основании формул :
,2
2
22
22
∫∫
−−
==
−
⋅−=
R
R
R
R
x
RdxRdx
xR
R
xRM
.0
22
22
=−−=
−
⋅=
−
−
∫
R
R
R
R
y
xRRdx
xR
R
xM
2R
h
H 
Примеры:
1. Цилиндр наполнен газом под атмосферным давлением (103,3 кПа). Счи-
  тая газ идеальным, определить работу (в джоулях) при изотермическом
  сжатии газа поршнем, переместившимся внутрь цилиндра на h =0,2 м
  при H=0,4, R=0,1 м.
Решение:
Уравнение состояния газа pV = const , где p – давление, V – объем.
                                             h



 2R



                         H

                                                                                                V2

Такая работа будет вычисляться по следующей формуле: A = ∫ pdV .
                                                                                                V1


                                             V1 = π ⋅ 0,12 ⋅ 0,4 = 0,004π
Где V = πR 2 H , тогда                                                            .
                                             V2 = π ⋅ 0,12 ⋅ 0,2 = 0,002π
      0 , 002π                                        0 , 002π
A=       ∫       103,3 ⋅ 103 dV = 103,3 ⋅ 10 3V                  = −206,6 ( Дж ) .
      0 , 004π                                        0 , 004π




2. Найти статические моменты относительно осей координат и координаты
  центра тяжести однородной (ρ=1) полуокружности x 2 + y 2 = R 2 ( y ≥ 0) .
Решение:
                                                 −x                            R
Имеем y = R 2 − x 2 , y ′ =                                 , 1 + y ′2 =              . На основании формул :
                                                 R −x
                                                  2     2
                                                                             R − x2
                                                                              2


          R                                           R
                                    R
Mx =      ∫       R −x ⋅                     dx = R ∫ dx = 2 R 2 ,
                    2        2

         −R                       R −x
                                    2    2
                                                      −R

          R
                          R                                 R
My =      ∫x⋅
         −R             R2 − x2
                                  dx = − R R 2 − x 2
                                                            −R
                                                                 = 0.



                                                                        45

Страницы