Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

47
Используя формулы из таблицы находим
()
4
22
2
)2(
2
1
)2(1
2
1
)(
1
0
1
0
1
0
2
shxsh
xdxxchdxxchM
x
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=+==
∫∫
.
=−=−=
==
==
=⋅=
∫∫
1
0
1
0
1
0
1
0
))()(()()(
.)(;)(
;;
)( xchxxshdxxshxxsh
vxshdvdxxch
dudxux
dxxchxM
y
111 +−= chsh
.
()
1
3
1
1
3
))(
)()()(1)(
3
1
0
3
1
0
1
0
23
shsh
xsh
xshdxxchxshdxxchI
x
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=+==
∫∫
.
=⋅−=
==
==
=⋅=
∫∫
1
0
1
0
2
1
0
2
2
)(2)(
.)(;)(
;2;
)( dxxshxxshx
vxshdvdxxch
duxdxux
dxxchxI
y
=
==
==
=
.)(;)(
;;
vxchdvdxxsh
dudxux
()
∫
=+−
1
0
1
0
2
)(2)(2)( dxxchxxchxshx
()
1
0
2
)(2)(2)( xshxxchxshx +−=
1213 chsh
−
=
.
Следовательно,
4
22 sh
M
x
+
=
; 111
+
−
=
chshM
y
; 1
3
1
1
3
shshI
x
+= ; 1213 chshI
y
−= .
5.Найти статистические моменты относительно осей координат и коорди-
наты центра масс однородной (
1
=
ρ
) полуокружности
)0(
222
≥=+ yRyx .
Решение.
Имеем
22
2
22
22
)(1,,
xR
R
y
xR
x
yxRy
−
=
′
+
−
−
=
′
−=
.
На основании формул получим:
2
22
22
2RdxRdx
xR
R
xRM
R
R
R
R
x
==
−
−=
∫∫
−−
,
0
22
22
=−−=
−
=
−
−
∫
R
R
R
R
y
xRRdx
xR
R
xM
.
Масса М полуокружности численно равна длине полуокружности
(
RM
π
= ), поэтому по соответствующим формулам находим координаты ее
центра масс:
ππ
R
R
R
M
M
y
M
M
x
x
C
y
C
22
,0
2
===== . Получаем:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
R
C
2
;0
. 
Используя формулы из таблицы находим
                1                          1                                                          1
                   1                    1⎛     sh(2 x) ⎞   2 + sh2
M x = ∫ ch ( x)dx = ∫ (1 + ch(2 x) )dx = ⎜ x +
                         2
                                                       ⎟ =         .
      0
                   20                   2⎝       2 ⎠0         4
                1
                                           x = u; dx = du;                           1
M y = ∫ x ⋅ ch( x)dx =                                                = xsh( x) 0 − ∫ sh( x)dx = ( xsh( x) − ch( x)) 0 =
                                                                                1                                    1

                0
                                           ch( x)dx = dv; sh( x) = v.                0


= sh1 − ch1 + 1 .
                                                                                                               1
            1                      1
                                             ⎛          sh 3 ( x)) ⎞
                                       (
I x = ∫ ch ( x)dx = ∫ 1 + sh ( x) ch( x)dx =⎜⎜ sh( x) +
                     3                             2
                                                             )
                                                            3 ⎠0
                                                                             1
                                                                   ⎟⎟ = sh1 + sh 31 .
                                                                             3
      0             0                        ⎝
            1
                                           x 2 = u; 2 xdx = du;                                            1            1
I y = ∫ x 2 ⋅ ch( x)dx =                                                               = x 2 sh( x) − 2 ∫ x ⋅ sh( x)dx =
            0                              ch( x)dx = dv; sh( x) = v.                                      0            0

                                                                                                      1

                                                           = (x                                   )                 1
    x = u; dx = du;                                                  2
                                                                         sh( x) − 2 xch( x)                + 2∫ ch( x)dx =
=                                                                                                                   0
    sh( x)dx = dv; ch( x) = v.                                                                        0

                                                                 1

    (
= x sh( x) − 2 xch( x) + 2sh( x)
        2
                                                             )       = 3sh1 − 2ch1 .
                                                                 0


                                                   2 + sh2                                    1
Следовательно, M x =                                       ; M y = sh1 − ch1 + 1 ; I x = sh1 + sh 31 ; I y = 3sh1 − 2ch1 .
                                                      4                                       3



5.Найти статистические моменты относительно осей координат и коорди-
        наты                 центра                        масс                однородной                          ( ρ = 1)              полуокружности
        x 2 + y 2 = R 2 ( y ≥ 0) .

Решение.
                                                                     −x                                     R
Имеем y = R 2 − x 2 , y ′ =                                                    , 1 + ( y ′) 2 =                             .
                                                                 R2 − x2                                  R2 − x2

На основании формул получим:
                R                                                          R                          R
                                               R                                                                    R
Mx =            ∫        R2 − x2                           dx = R ∫ dx = 2R 2 , M y =                 ∫x                            dx = − R R 2 − x 2        = 0.
                                                                                                                                                         R
                                                                                                                                                         −R
                −R                     R −x2           2
                                                                          −R                          −R        R −x2           2



Масса М полуокружности численно равна длине полуокружности
( M = πR ), поэтому по соответствующим формулам находим координаты ее
                                                           My                      M x 2R 2 2R
                                                                                               . Получаем: C ⎛⎜ 0; ⎞⎟ .
                                                                                                                  2R
центра масс:                                   xC =                  = 0, yC =        =    =
                                                            M                      M    πR   π                ⎝ π ⎠

                                                                                      47

Страницы