Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

48
2.7. Экономическое приложение определенного
интеграла
Приведем в виде таблицы 10 экономические приложения определен-
ного интеграла.
Таблица 10.
Вычислить Формула
Объем выпускаемой продукции за Т лет
∫
+=
T
t
dtetQ
0
)(
γ
βα
Дисконтированный доход К за время Т
∫
−
=
T
it
dtetfK
0
)(
Среднее время t
ср
, затраченное на
изготовление одного изделия в период
освоения от x
1
до x
2
изделий
∫
−
=
2
1
)(
1
12
x
x
ср
dxxt
xx
t
Примеры:
1.
Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция
Кобба-Дугласа имеет вид
t
ettg
3
)1()( +=
.
Решение.
По формуле вычисления объема выпускаемой продукции имеем
∫
+=
4
0
3
)1( dtetQ
t
.
Используем метод интегрирования по частям. Пусть
.,1
3
dtedvtu
t
=+=
Тогда
.
3
1
,
3t
evdtdu == Следовательно,
=−+=
∫
4
0
34
0
3
3
1
3
1
)1( dteetQ
tt
5124
0
312
1053,2)214(
9
1
9
1
)15(
3
1
⋅≈−=−−= eee
t
(усл.ед).
2.
Определить дисконтированный доход за три года при процентной ставке
8%, если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 10
млн. руб., и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 1
млн. руб.
Решение. 
          2.7. Экономическое приложение определенного
                                          интеграла
    Приведем в виде таблицы 10 экономические приложения определен-
ного интеграла.
                                                           Таблица 10.
                Вычислить                       Формула
Объем выпускаемой продукции за Т лет            T
                                            Q = ∫ (α t + β ) e γ t dt
                                                                                       0

Дисконтированный доход К за время Т                                                         T
                                                                                 K = ∫ f (t )e −it dt
                                                                                            0

Среднее время tср, затраченное на                                                          1
                                                                                                 x2



                                                                                       x 2 − x1 x∫1
изготовление одного изделия в период                                      t ср       =              t ( x)dx
освоения от x1 до x2 изделий

Примеры:
1. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция
     Кобба-Дугласа имеет вид g (t ) = (1 + t )e 3t .
Решение.
По формуле вычисления объема выпускаемой продукции имеем
                                               4
                                         Q =   ∫ (1 + t ) e
                                                              3t
                                                                   dt .
                                               0


Используем метод интегрирования по частям. Пусть u = t + 1, dv = e 3t dt.
                                                                                        4
                   1                                  1                                     1 3t
Тогда du = dt , v = e 3t . Следовательно, Q = ( t + 1) e 3 t                     4
                                                                                 0   −∫       e dt =
                   3                                  3                                 0
                                                                                            3

    1                1          1
=     ( 5 e 12 − 1) − e 3 t 04 = (14 e 12 − 2 ) ≈ 2 ,53 ⋅ 10 5 (усл.ед).
    3                9          9
2. Определить дисконтированный доход за три года при процентной ставке
    8%, если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 10
    млн. руб., и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 1
    млн. руб.
Решение.



                                                   48

Страницы