Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

49
Капиталовложения задаются функцией tttf
+
=
⋅
+
=
10110)( . Тогда дискон-
тированная сумма капиталовложений
∫
−
+=
3
0
08,0
)10( dtetK
t
.
Используем метод интегрирования по частям. Пусть
.,10
08,0
dtedvtu
t−
=+=
Тогда
.
08,0
1
,
08,0 t
evdtdu
−
−== Следовательно,
5,30
08,0
1
08,0
10
08,0
13
08,0
1
08,0
1
)10(
3
0
08,0
2
3
0
24,0
08,03
0
08,0
≈−+−=++−=
−
−
−−
∫
ttt
e
e
dteetK
(млн).
руб. Это означает, что для получения одинаковой наращенной суммы че-
рез три года ежегодные капиталовложения от 10 до 13 млн. руб. равно-
сильны одновременным первоначальным вложениям 30,5 млн.руб. при той
же, начисляемой непрерывно, процентной ставке.
3.
По данным исследований в распределении доходов в одной из стран
кривая Лоренца ОВА (рис. ) может быть описана уравнением
2
11 xy −−= , где х – доля населения, у – доля дохода населения. Вычис-
лить коэффициент Джини.
Решение.
Коэффициент Джини, исходя из
изображения кривой Лоренца ОВА,
можно вычислить по формуле:
OBAC
OAC
OBAC
OAC
OAB
S
S
S
S
S
k 211 −=−==
ΔΔ
, так как
2
1
=
ΔOAC
S .
(
)
.11111
1
0
2
1
0
2
1
0
1
0
2
∫∫∫∫
−−=−−=−−= dxxdxxdxdxxS
OBAC
Делаем замену
.
2
,0,)cos(),sin(
21
π
==== ttdttdxtx
∫∫
−=−
2
0
2
1
0
2
)(sin1)cos(1
π
dtttdxx
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
+
==
∫∫∫∫
2
0
2
0
2
0
2
0
2
)2cos(
2
1
2
)2cos(1
)(cos
ππππ
dttdtdt
t
dtt
4
)2sin(
2
1
2
1
2
0
π
π
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+= tt
100(1)%
100(1)%
х
у
0
А
В
С 
Капиталовложения задаются функцией f (t ) = 10 + 1 ⋅ t = 10 + t . Тогда дискон-
                                                                                       3

тированная сумма капиталовложений K = ∫ (10 + t )e
                                                   − 0 , 08t
                                                             dt .
                                                                                       0


Используем метод интегрирования по частям. Пусть u = t + 10, dv = e −0,08t dt.
                                      1 −0,08t
Тогда du = dt , v = −                     e    . Следовательно,
                                     0,08
                                               3
                      1 −0,08t                     1 −0,08t        13e −0, 24    10        1
K = −(t + 10)             e            3
                                       0   +∫          e    dt = −            +       −       2
                                                                                                e −0, 08t   3
                                                                                                            0   ≈ 30,5 (млн).
                     0,08                      0
                                                 0, 08              0 ,08       0, 08   0, 08

руб. Это означает, что для получения одинаковой наращенной суммы че-
рез три года ежегодные капиталовложения от 10 до 13 млн. руб. равно-
сильны одновременным первоначальным вложениям 30,5 млн.руб. при той
же, начисляемой непрерывно, процентной ставке.
3. По данным исследований в распределении доходов в одной из стран
    кривая Лоренца ОВА (рис. ) может быть описана уравнением
    y = 1 − 1 − x 2 , где х – доля населения, у – доля дохода населения. Вычис-

    лить коэффициент Джини.                                                                          у             А
                                                                                           100(1)%
Решение.
Коэффициент Джини, исходя из
изображения кривой Лоренца ОВА,                                                                                 В С
можно вычислить по формуле:                                                                      0              100(1)%   х
     S OAB       S                                     1
k=          = 1 − OBAC = 1 − 2S OBAC , так как S ΔOAC = .
     S ΔOAC      S ΔOAC                                2

                 (               )
             1                             1        1                          1
S OBAC = ∫ 1 − 1 − x dx = ∫ dx − ∫ 1 − x dx = 1 − ∫ 1 − x 2 dx.
                             2                                    2

             0                             0        0                          0


Делаем замену x = sin(t ), dx = cos(t )dt , t1 = 0, t 2 = π 2 .
                     π                                    π                        π π       π
                                                                                1 ⎛⎜ 2                       ⎞
1                        2
                                                              1 + cos(2t )
                                                              2                        2       2
                                                                                                             ⎟
∫0   −      = ∫0            −             = ∫0            = ∫0 2              =       ∫    +  ∫
         2                                     2                      2
   1   x dx      cos( t ) 1   sin (t ) dt      cos (t )dt                  dt      ⎜    dt      cos( 2t ) dt ⎟⎟
                                                                                2⎜ 0
                                                                                   ⎝          0
                                                                                                              ⎠
   1⎛ 1            ⎞ π     π
= ⎜ t + sin(2t ) ⎟ 0 2 =
   2⎝ 2            ⎠        4


                                                                          49

Страницы