Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

46
Масса М полуокружности численно равна длине полуокружности )( RM
π
= .
Находим координаты её центра тяжести:
ππ
R
R
R
M
M
y
M
M
x
x
C
y
C
22
,0
2
===== . Итак .
2
;0
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
R
C
3. Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, имеющую форму
равнобочной трапеции, верхнее основание которой a = 70 м, нижнее –
b = 50 м, а высота H = 20 м. Плотность воды 1000 кг/м
3
.
Решение:
Выберем систему координат и сделаем изображение.
Координаты точек А, В и С легко определяются из чертежа: А(20; 10),
В(20; 60), С(0; 70). Уравнение линии ОА имеет вид
xy 5,0
=
, а уравнение
линии ВС:
705,0 +−= xy .
По формуле расчета силу давления на пластинку:
dxyyxgP
b
a
∫
−= )(
12
ρ
при
,20,0 == ba
xy 5,0
1
= , 705,0
2
+
−= xy вычисляем.
620
0
23
20
0
2
20
0
1097,114
2
70
3
)70()5,0705,0( ⋅=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=+−=−+−=
∫∫
xx
gdxxxgdxxxxgP
ρρρ
(Н).
4. Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох и
Оу дуги цепной линии y=ch(x) при
10
≤
≤
x (предполагается, что кривая
однородна и
1
=
ρ
).
Решение:
Имеем
)(xshy =
′
,
()
)()(11
2
2
xchxshy =+=
′
+
.
а=70
С
(
0
;
70
)
В
(
20
;
60
)
А
(
20
;
10
)
20
0
х
у
b
=50 
Масса М полуокружности численно равна длине полуокружности ( M = πR ) .
Находим координаты её центра тяжести:
        My               M x 2R 2 2R
                                     . Итак C ⎛⎜ 0; ⎞⎟.
                                                   2R
xC =         = 0, yC =      =    =
        M                M    πR   π           ⎝ π ⎠



3. Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, имеющую форму
   равнобочной трапеции, верхнее основание которой a = 70 м,                          нижнее –
   b = 50 м, а высота H = 20 м. Плотность воды 1000 кг/м3.
Решение:
Выберем систему координат и сделаем изображение.
                           а=70                  С(0; 70)
       0
                                                      у


    20
                                        В(20; 60)
             А(20; 10)      b=50
    х
Координаты точек А, В и С легко определяются из чертежа: А(20; 10),
В(20; 60), С(0; 70). Уравнение линии ОА имеет вид y = 0,5 x , а уравнение
линии ВС: y = −0,5 x + 70 .
                                                                         b
По формуле расчета силу давления на пластинку: P = g ∫ ρx( y 2 − y1 )dx при
                                                                         a


a = 0, b = 20, y1 = 0,5 x , y 2 = −0,5 x + 70 вычисляем.
       20                              20
                                                                ⎛ x3     x2 ⎞
P = gρ ∫ x(−0,5 x + 70 − 0,5 x)dx = gρ ∫ (− x 2 + 70 x)dx = gρ ⎜⎜ −  + 70 ⎟⎟ 020 = 114,97 ⋅ 10 6 (Н).
       0                               0                        ⎝ 3      2 ⎠



4. Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох и
   Оу дуги цепной линии y=ch(x) при 0 ≤ x ≤ 1 (предполагается, что кривая
   однородна и ρ = 1 ).
Решение:

Имеем y ′ = sh(x) , 1 + ( y ′)2 = 1 + sh 2 ( x) = ch( x) .

                                                 46

Страницы