Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

32
2. Замена переменных.
Пусть задан интеграл
∫
b
a
dxxf )(
, где f(x) – непрерывная функция на отрезке
[a, b]. Введем новую переменную в соответствии с формулой x =
ϕ
(t).
1)
ϕ
(
α
) = а,
ϕ
(
β
) = b;
2)
ϕ
(t) и
ϕ′
(t) непрерывны на отрезке [
α
,
β
];
3) f(
ϕ
(t)) определена на отрезке [
α
,
β
], то
∫∫
β
α
ϕ
′
ϕ=
b
a
dtttfdxxf )()]([)(
.
Тогда
∫
β
α
β
α
−=αϕ−βϕ=ϕ=ϕ
′
ϕ )()()]([)]([)]([)()]([ aFbFFFtFdtttf
Пример:
.
4
sin
4
1
4
)2sin(
2
1
2
1
))2cos(1(
2
1
)(cos)cos()(sin1
2
1
00
)sin(
1
2/
0
2/
0
2/
0
2
2/
0
2
1
0
2
π
π
π
π
π
πππ
=+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
=+==−=
=⇒=
=⇒=
=
=−
∫∫∫∫
tt
dttdttdttt
tx
tx
tx
dxx
3.
Интегрирование по частям .
Формула имеет вид:
[] []
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
xudxvxvxuxvdxu )()()()()()(
.
Пример:
∫
π2
0
dx)xcos(x
=
)sin()cos( xvdxxdv
dxduxu
==
==
=
dxxxx )sin()sin(
2
0
2
0
∫
−
π
π
=
ππ
2
0
2
0
)cos()sin( xxx + =
()
(
)
[]
0sin02sin2
⋅
−⋅
π
π
+
(
)
(
)
[
]
0cos02cos2
⋅
−
π
⋅
π
=0.
2.2. Приближенное вычисление определенного
интеграла
Потребность в приближенном вычислении интеграла возникает то-
гда, когда не существует или неизвестен метод отыскания точного значе-
ния интеграла, и тогда, когда этот метод известен, но неудобен. 
 2.     Замена переменных.
                                     b
 Пусть задан интеграл                ∫ f ( x)dx , где f(x) – непрерывная функция на отрезке
                                     a


 [a, b]. Введем новую переменную в соответствии с формулой x = ϕ(t).
1) ϕ(α) = а, ϕ(β) = b;
2) ϕ(t) и ϕ′(t) непрерывны на отрезке [α, β];
                                                             b             β

3) f(ϕ(t)) определена на отрезке [α, β], то                  ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ(t )]ϕ′(t )dt .
                                                             a            α

         β                                β
Тогда    ∫
         α
              f [ϕ(t )]ϕ′(t )dt = F [ϕ(t )] = F [ϕ(β)] − F [ϕ(α)] = F (b) − F (a )
                                          α


Пример:

1
              x = sin(t )     π /2                       π /2               π /2
                                                                          1
∫0 1 − x dx = x = 0 ⇒ t = 0 = ∫0 1 − sin (t ) cos(t )dt = ∫0 cos (t )dt = 2 ∫0 (1 + cos(2t ))dt =
         2                              2                       2


                           π
              x =1⇒ t =
                           2
   1⎛ 1          ⎞ π /2
                          π 1       π
= ⎜ t + sin(2t ) ⎟ = + sin π = .
   2⎝ 2          ⎠ 0      4 4        4



 3.     Интегрирование по частям .
                                 b                                   b
 Формула имеет вид: ∫ u( x )d [v ( x )] = u( x )v ( x ) − ∫ v ( x )d [u( x )] .
                                                                 b
                                                                 a
                                 a                                   a

                                                                                2π
               2π                        u=x       du = dx                2π
Пример: ∫ x cos(x )dx =                               = x sin( x) 0 − ∫ sin( x) dx =
        0
                        dv = cos( x ) dx v = sin( x )                 0


x sin( x) 0 + cos( x) 0 = [2π ⋅ sin (2π ) − 0 ⋅ sin (0 )] + [2π ⋅ cos(2π ) − 0 ⋅ cos(0 )] =0.
         2π             2π




             2.2. Приближенное вычисление определенного
                                               интеграла
        Потребность в приближенном вычислении интеграла возникает то-
гда, когда не существует или неизвестен метод отыскания точного значе-
ния интеграла, и тогда, когда этот метод известен, но неудобен.

                                                      32

Страницы