Интегральное исчисление функции одной переменной. Мустафина Д.А - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

53
2.9. Задания для самопроверки №3
1. Постройте на бумаге в клетку систему координат, где единичный отре-
зок - 1см. Найдите приближенные значения следующих интервалов с по-
мощью графиков подынтегральных функций:
a)
∫
10
0
2
1,0 dxx ; b) dx
x
∫
10
1
10
;
c)
dx
x
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
10
0
10
sin5
π
.
2. Пусть имеется кардиоида
(
)
ϕ
cos1
+
=
ar
(рис. см. приложение №1). Найти:
a) площадь фигуры ограниченной кардиоидой ; Ответ:
2
2
3
a
π
.
b) длину дуги кардиоиды; Ответ: 8а.
3. Пусть имеется одна арка циклоиды
(
)
()
⎩
⎨
⎧
−=
−=
,cos1
,sin
tay
ttax
π
20
≤
≤
t , ограничен-
ная осью Ох (рис. см. приложение №1). Найти:
a) площадь циклоиды Ответ:
2
3 a
π
.
b) длину дуги циклоиды; Ответ: 8а.
c) вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох одной
арки циклоиды. Ответ: 5π
2
а
3
.
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями
)cos(23
ϕ
ar =
и
)sin(3
ϕ
ar = . Ответ:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
3
2
2
4
9
2
arctga
π
.
5. Определить площадь части круга
(
)
005
22
≥≥≤+ yxyx I , ограниченной
кривыми
yxxy 4,4
22
== . Ответ:
5
3
arcsin
2
5
3
2
+
.
6.Найти силу давления бензина, находящегося в цилиндрическом баке вы-
сокой h = 3,5 м и радиусом основания r = 1,5 м, на его стенки, если
3
900
м
кг
=
ρ
. Ответ: .7,161 kH
π
7.Найти работу, совершенную при выкачивании воды из емкости, имею-
щую форму полуцилиндра, длина которого a, радиус r.
Ответ:
.
3
2
3
gar
ρ
                        2.9. Задания для самопроверки №3
1. Постройте на бумаге в клетку систему координат, где единичный отре-
зок - 1см. Найдите приближенные значения следующих интервалов с по-
мощью графиков подынтегральных функций:
             10                          10                                 10
                                                                                       ⎛ πx ⎞
                                                                            ∫
                                              10
        a)
             ∫
             0
                 0,1x 2 dx ;        b)
                                         ∫
                                         1     x
                                                 dx ;                  c)
                                                                            0
                                                                                 5 sin ⎜ ⎟dx .
                                                                                       ⎝ 10 ⎠

2. Пусть имеется кардиоида r = a (1 + cos ϕ ) (рис. см. приложение №1). Найти:
                                                                                     3 2
a) площадь фигуры ограниченной кардиоидой ;                             Ответ:         πa .
                                                                                     2
b) длину дуги кардиоиды;                                     Ответ: 8а.
                                              ⎧ x = a (t − sin t ),
3. Пусть имеется одна арка циклоиды ⎨                               0 ≤ t ≤ 2π , ограничен-
                                              ⎩ y = a (1 − cos t ),
ная осью Ох (рис. см. приложение №1). Найти:
a) площадь циклоиды                                         Ответ: 3πa 2 .
b) длину дуги циклоиды;                                     Ответ: 8а.
c) вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох одной
арки циклоиды.                                                      Ответ: 5π2а3.
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями r = 3 2a cos(ϕ )

                                                                 9 2⎛                 2⎞
и r = 3a sin(ϕ ) .                                      Ответ:    a ⎜⎜ π − arctg 2 −    ⎟.
                                                                 4 ⎝                 3 ⎟⎠

5. Определить площадь части круга x 2 + y 2 ≤ 5 (x ≥ 0 I y ≥ 0) , ограниченной
                                                                       2 5      3
кривыми y 2 = 4 x, x 2 = 4 y .                               Ответ:     + arcsin .
                                                                       3 2      5
6.Найти силу давления бензина, находящегося в цилиндрическом баке вы-
    сокой h = 3,5 м и радиусом основания r = 1,5 м, на его стенки, если
    ρ = 900 кг          .                                    Ответ: 161,7π kH .
                   м3
7.Найти работу, совершенную при выкачивании воды из емкости, имею-
    щую форму полуцилиндра, длина которого a, радиус r.
                                                                       2
                                                            Ответ:       ρgar 3 .
                                                                       3

                                             53

Страницы