Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

20
7. Вычислить длину дуги кривой: а)
,)arcsin(2
2
xxxy −++=
1
4
1
≤≤ x ;
б)
ππ
2
)),cos(1(3
)),sin((3
≤≤
⎩
⎨
⎧
−=
−=
t
ty
ttx
, в)
3
4
4
ϕ
e
r
=
,
.3/0
π
ϕ
≤
≤
8. Найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры, огра-
ниченной линиями 0=y , 5/
2
xy = , 04035
=
−
+
y
x
.
9. Показать, что функция
(
)
22
35ln yxyz −⋅= удовлетворяет уравнению
2
553
y
z
y
z
yx
z
x
=
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅ .
10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
343204
22
+−−+= yxyxz в области, заданной неравенствами:
0≥
x
; 053 ≤− y
x
; 08 ≤−+ y
x
.
11. Изменить порядок интегрирования:
∫∫
+
3
0
3
);(
y
y
dxyxfdy
.
12. Построить схематический чертёж и найти площадь фигуры ограниченной
линиями: а) 0=y ,
2
xy =
, 200253
+
−
=
x
y ;
б) 06
22
=+− xyy, 010
22
=+− xyy,
x
y
=
, 0
=
x
.
13. Найти объём тела ограниченного поверхностями
22
3 yxz += , 3=z ,
0=
x
,
x
y 53 = .
14. Вычислить
()( )
∫
+++
C
dyyxdxxy 252, где контур С образован линиями
2
254 xy = , 25=y , 0=
x
:
а) непосредственно; б) по формуле Остроградского-Грина.
15. Вычислить
()
∫
−+++
С
zdzdyzydxzx 1632)52(, где контур С является од-
ним витком винтовой линии:
(
)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
,8
),5sin(3
,5cos3
tz
ty
tx
20
≤
≤
t
.
16. Для функции
(
)
zyxu 535ln
22
++= в точке
(
)
4;5;3
−
A
найти градиент и
производную по направлению
kjia
r
r
r
r
435 +−=
.
17. Найти в точке
()
8;5;3B дивергенцию и ротор векторного поля
kzj
x
yz
i
y
xz
F
r
rr
r
⋅+⋅
−
+⋅
−
= 40
3
5
22
22
. 
7. Вычислить длину дуги кривой: а) y = 2 + arcsin( x ) + x − x 2 , 1 ≤ x ≤ 1 ;
                                                                    4
                                                ϕ
   ⎧ x = 3(t − sin(t )),                       4
б) ⎨                     π ≤ t ≤ 2π , в) r = 4e 3 , 0 ≤ ϕ ≤ π / 3.
   ⎩ y = 3(1 − cos(t )),
8. Найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры, огра-
ниченной линиями y = 0 , y = x 2 / 5 , 5 x + 3 y − 40 = 0 .
                                          (            )
9. Показать, что функция z = y ⋅ ln 5 x 2 − 3 y 2 удовлетворяет уравнению
3 ∂z 5 ∂z 5 z
   ⋅ + ⋅         =     .
x ∂x y ∂y y 2
10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = 4 x 2 + y 2 − 20 x − 3 y + 34 в области, заданной неравенствами:
x ≥ 0 ; 3x − 5 y ≤ 0 ; x + y − 8 ≤ 0 .
                                                   3   y +3

11. Изменить порядок интегрирования:
                                                  ∫ dy ∫ f ( x; y)dx .
                                                   0    y
12. Построить схематический чертёж и найти площадь фигуры ограниченной
линиями: а) y = 0 , y = x 2 , 3 y = −25 x + 200 ;
б) y 2 − 6 y + x 2 = 0 , y 2 − 10 y + x 2 = 0 , y = x , x = 0 .
13. Найти объём тела ограниченного поверхностями 3 z = x 2 + y 2 , z = 3 ,
x = 0 , 3 y = 5x .
14. Вычислить
                   ∫ 2( y + x)dx + (5x + 2 y )dy , где контур С образован линиями
                   C
          2
4 y = 25 x , y = 25 , x = 0 :
а) непосредственно; б) по формуле Остроградского-Грина.
15. Вычислить
                   ∫ (2 x + 5z)dx + (2 y + 3z )dy − 16 zdz , где контур С является од-
                   С
                           ⎧ x = 3 cos(5t ),
                           ⎪
ним витком винтовой линии: ⎨ y = 3 sin(5t ), 0 ≤ t ≤ 2π .
                           ⎪ z = 8t ,
                           ⎩
                            (          r
                                              )
16. Для функции u = ln 5 x 2 + 3 y 2 + 5 z в точке A (− 3; 5; 4 ) найти градиент и
                                              r  r
                                  r
производную по направлению a = 5i − 3 j + 4k .
17. Найти в точке B(3;5;8) дивергенцию и ротор векторного поля
 r z 2 − 5x 2 r z 2 − 3 y 2 r             r
F=            ⋅i +           ⋅ j + 40 z ⋅ k .
        y             x


                                                  20

Страницы