Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 21 стр.

UptoLike

Рубрика: 

21
Вариант 8
1. Найти пределы функций:
а)
(
)
9339lim
22
+++
xxxx
x
в)
+
x
x
x
x
4
lim
2
3
д)
x
x
x
x
5
47
47
lim
+
б)
3918
279027
lim
2
3
1
+
+
xx
xx
x
г)
x
xx
x
4
57
0
21
22
lim
е)
()()
)7(
2
2coslim
xctg
x
x
π
2. В точках 0
1
=x и 3
2
=x для функции )(
x
f
установить непрерывность или
определить характер точек разрыва. Нарисовать график функции )(
x
f
в окре-
стностях этих точек: а)
22
9
)(
3
=
x
xf
; б)
(
)
()
+∞<<
<<+
=
.3,9
,30,3
,0,33
)(
2
xеслих
хеслиx
xеслиx
xf
3. Найти производные функций:
а)
4
3
7
9
4
9
++= x
x
y
в)
(
)
2
811
9
x
xarcctg
y
+
=
д)
8
3
7
6
23
=
+
y
x
yx
б)
8
5
5
3
35
ln
+
+
=
x
x
y
г)
(
)
(
)
x
xy
9ln
3
=
е)
()
++=
++=
.2044
,545ln
2
tty
ttx
4. С помощью методов дифференциального исчисления построить график
функции
(
)
()
12/73
2
+= xxy
.
5. Найти интегралы:
а)
dx
x
x
2
6
5
4
4
5
в)
(
)
dxxshx 12
2
д)
()
+
+
418
414
2
xx
dxx
б)
dx
x
x
2
2
25
5
3
г)
()()
+ dxxchx 32
е)
2
413 xx
dx
6. Вычислить интегралы или установить их расходимость:
а)
()
+∞
+
4
2
4
16
x
arctgx
dx
,
б)
+
9
4
2
209xx
dx
7. Вычислить длину дуги кривой: а) 2)ln(cos
+
=
x
y ,
6
0
π
x ;
б)
2
0
)),cos(1(2
)),sin((2
π
=
=
t
ty
ttx
;
в)
5
12
0,5 =
ϕϕ
r .
                                                    Вариант 8
1. Найти пределы функций:
а)                                                          ⎛ x3       ⎞                            5x

lim
x →∞
         (x   2
                  + 9 x + 3 − x 2 − 3x + 9     )    в) lim ⎜⎜ 2
                                                       x →∞ x + 4
                                                            ⎝
                                                                  − x ⎟⎟
                                                                       ⎠
                                                                                      ⎛ 7x − 4 ⎞
                                                                               д) lim ⎜         ⎟
                                                                                  x →∞⎝ 7 x + 4 ⎠

            27 x 2 − 90 x + 27                                 27 x − 25x      е) lim (cos(2 x ))ctg
                                                                                                         2
б) lim                                              г) lim
                                                                                                             (7 x )
     x→
        1         18 x − 9 x + 3                        x →0    1− 2    4x           x →π
        3
2. В точках x1 = 0 и x 2 = 3 для функции f (x) установить непрерывность или
определить характер точек разрыва. Нарисовать график функции f (x) в окре-
                                                     ⎧3( x + 3), если − ∞ < x < 0,
                                   9                 ⎪
стностях этих точек: а) f ( x) = 3     ; б) f ( x) = ⎨( x − 3)2 , если 0 ≤ х ≤ 3,
                                                     ⎪9 х,         если 3 < x < +∞.
                                2x − 2               ⎩
3. Найти производные функций:
                                                        arcctg (9 x )
                                       4
        ⎛ x9 3 7     ⎞                                                                           7x
а) y = ⎜⎜   + x + 4 ⎟⎟                         в) y =                        д) 6 −3 x + 2 y −      =8
        ⎝ 9          ⎠                                   1 + 81x 2                               3y

                                                           ⎧ x = ln(5t ) + 4t + 5,
                               5
         ⎛ 5x +
б) y = ln⎜ 5    ⎟
                            3 ⎞8
                                   г) y = x 3 ln (9 x )
                                                        ( )
                                                        е) ⎨        2
                                                           ⎩ y = 4t + 4t + 20.
         ⎝ x + 3⎠
4. С помощью методов дифференциального исчисления построить график
                        (
функции y = 3x 2 − 7 / (2 x + 1) . )
5. Найти интегралы:
    ⎛ 4          ⎞
                               2
                                               ∫
                           в) 2 x ⋅ sh x 2 − 1 dx         (
                                                        (4 x + 41)dx)
                                                                                 ∫
              4
    ⎜
    ⎝
     ∫
а) ⎜ 5 x −       ⎟ dx
             6 5 ⎟
              x ⎠
                                                     д)
                                                        x 2 − 8 x + 41
    ⎛
    ⎜∫
б) ⎜ 3 2 x −
                5      ⎞
                       ⎟dx
                       ⎟                       ∫
                           г) ( x + 2 ) ⋅ ch(3 x )dx е)
                                                               dx
                                                         13 − 4 x − x 2
                                                                                ∫
    ⎝         25 − x 2 ⎠
6. Вычислить интегралы или установить их расходимость:
     +∞
                        dx                          9
а)
     ∫ (16 + x )⋅ arctg ⎛⎜ x ⎞⎟
                    2
                                           ,   б)
                                                    ∫
                                                               dx
     4                                                  x 2 − 9 x + 20
                         ⎝4⎠                        4

7. Вычислить длину дуги кривой: а) y = ln(cos x) + 2 , 0 ≤ x ≤ π ;
                                                                6
   ⎧ x = 2(t − sin(t )),
б) ⎨                     0≤t ≤π ;
   ⎩ y = 2(1 − cos(t )),       2
в) r = 5ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 12 .
                      5


                                                         21