Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

22
8. Найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры, огра-
ниченной линиями 0
=y ,
5/
2
xy =
, 04545
=
−
+
y
x
.
9. Показать, что функция
(
)
22
45ln yxyz −⋅=
удовлетворяет уравнению
2
554
y
z
y
z
yx
z
x
=
∂
∂
⋅+
∂
∂
⋅
.
10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
414204
22
+−−+= yxyxz
в области, заданной неравенствами:
0
≥
x
; 054 ≤− y
x
; 09 ≤−+ y
x
.
11. Изменить порядок интегрирования:
∫∫
+
4
0
5
4
5
);(
y
y
dxyxfdy .
12. Построить схематический чертёж и найти площадь фигуры ограниченной
линиями:
а) 0
=y ,
2
xy = , 225254 +−=
x
y ;
б)
02
22
=+− xyy , 04
22
=+− xyy , xy 3= , 0
=
x
.
13. Найти объём тела ограниченного поверхностями
22
4 yxz += , 4=z , 0=
x
,
x
y 54
=
.
14. Вычислить
()( )
∫
+++
C
dyyxdxxy 2522, где контур С образован линиями
2
2516 xy =
, 25=y , 0=
x
:
а) непосредственно; б) по формуле Остроградского-Грина.
15. Вычислить
()
∫
−+++
С
zdzdyzydxzx 1842)52(, где контур С является одним
витком винтовой линии:
(
)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
,9
),5sin(4
,5cos4
tz
ty
tx
π
20
≤
≤
t
.
16. Для функции
(
)
zyxu 545ln
22
−+= в точке
(
)
3;5;4
−
A
найти градиент и
производную по направлению
kjia
745 +−= .
17. Найти в точке
()
9;5;4B дивергенцию и ротор векторного поля
kzj
x
yz
i
y
xz
F
r
rr
r
⋅+⋅
−
+⋅
−
= 41
4
5
22
22
. 
8. Найти объём тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры, огра-
ниченной линиями y = 0 , y = x 2 / 5 , 5 x + 4 y − 45 = 0 .
                                        (             )
9. Показать, что функция z = y ⋅ ln 5 x 2 − 4 y 2 удовлетворяет уравнению
4 ∂z 5 ∂z 5 z
   ⋅ + ⋅         =     .
x ∂x y ∂y y 2
10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = 4 x 2 + y 2 − 20 x − 4 y + 41 в области, заданной неравенствами:
x ≥ 0 ; 4x − 5 y ≤ 0 ; x + y − 9 ≤ 0 .
                                                  4   y +5

11. Изменить порядок интегрирования:
                                                 ∫ dy ∫ f ( x; y)dx .
                                                  0   5y
                                                       4
12. Построить схематический чертёж и найти площадь фигуры ограниченной
линиями:
а) y = 0 , y = x 2 , 4 y = −25 x + 225 ;
б) y 2 − 2 y + x 2 = 0 , y 2 − 4 y + x 2 = 0 , y = 3x , x = 0 .
13. Найти объём тела ограниченного поверхностями
4z = x 2 + y 2 , z = 4 , x = 0 , 4 y = 5x .
14. Вычислить
                  ∫ 2(2 y + x)dx + (5x + 2 y )dy , где контур С образован линиями
                  C
           2
16 y = 25 x , y = 25 , x = 0 :
а) непосредственно; б) по формуле Остроградского-Грина.
15. Вычислить
                  ∫ (2 x + 5z)dx + (2 y + 4 z )dy − 18zdz , где контур С является одним
                  С
                         ⎧ x = 4 cos(5t ),
                         ⎪
витком винтовой линии: ⎨ y = 4 sin(5t ), 0 ≤ t ≤ 2π .
                         ⎪ z = 9t ,
                         ⎩
                           (           r
                                             )
16. Для функции u = ln 5 x 2 + 4 y 2 − 5 z в точке A (− 4; 5;3 ) найти градиент и
                                             r   r
                                  r
производную по направлению a = 5i − 4 j + 7 k .
17. Найти в точке B(4;5;9) дивергенцию и ротор векторного поля
 r z 2 − 5x 2 r z 2 − 4 y 2 r             r
F=            ⋅i +           ⋅ j + 41z ⋅ k .
        y             x




                                                 22

Страницы