Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 25 стр.

                            МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
                       ПО РЕШЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
           1. Найти пределы функций:
           а) lim
                x →∞
                            (x        2
                                          + 5x + 4 − x 2 − 4x + 5 .              )
      Решение. При вычислении предела получаем неопределённость вида
[∞ − ∞] , для решения предела умножим на сопряженное числителя и числитель
и знаменатель. Произведя арифметические действия, дробь преобразуется на
                                                      ∞
неопределенность вида ⎡⎢ ⎤⎥ . Для того, чтобы найти предел данной дроби ис-
                       ⎣∞ ⎦
пользуем эквивалентные функции при x → ∞ функция 9 x − 1 ~ 9 x , а
 x 2 + 5x + 4 + x 2 − 4 x + 5 ~ x 2 + x 2 = x + x .
lim
x →∞
    ( x + 5x + 4 − x − 4x + 5 ) = [∞ − ∞] =
            2                                    2



= lim
      ( x + 5x + 4 − x − 4x + 5 )⋅ ( x + 5x + 4 +
                    2                             2                      2
                                                                                                 x 2 − 4x + 5   )=
  x →∞
                                                 x 2 + 5x + 4 + x 2 − 4 x + 5

= lim
      (x        2
                        + 5x + 4 −        ) (x
                                           2
                                                      2
                                                          − 4x + 5   ) = lim
                                                                     2
                                                                                      x2 + 5x + 4 − x2 + 4 x − 5
                                                                                                                              =
  x →∞         x2 + 5x + 4 + x2 − 4 x + 5       x →∞ x 2 + 5 x + 4 + x 2 − 4 x + 5

                       9x −1               ⎡∞ ⎤         9x          9x 9
= lim                                    = ⎢ ⎥ = lim         = lim     = = 4,5 .
  x →∞
            x 2 + 5 x + 4 + x 2 − 4 x + 5 ⎣ ∞ ⎦ x →∞ x + x x →∞ 2 x 2
                            20 x 2 − 41x + 20
           б) lim                                           .
                x→
                        4      10 x − 5 x + 4
                        5
     Решение. Отыскание предела этой дроби сводится к раскрытию неопре-
деленности ⎡ 0 ⎤ . Преобразуем дробь, разложив числитель и знаменатель на
                            ⎢⎣ 0 ⎥⎦

множители и домножим числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя.

        2
    20 x − 41x + 20 ⎡ 0 ⎤
                                      ⎛     4⎞ ⎛       5⎞
                                 20 ⋅ ⎜ x − ⎟ ⋅ ⎜ x − ⎟ ⋅ 10 x + 5 x + 4                                (                         )
                                      ⎝     5⎠ ⎝       4⎠
lim                 = ⎢ ⎥ = lim                                          =
x→
  5
   4 10 x − 5 x + 4   ⎣ 0 ⎦ x→
                               4      10 x −  5 x +  4  ⋅ 10 x +
                                                                5
                                                                 5 x (
                                                                     + 4                         )(                           )
             ⎛
           20⎜ x −
                             4 ⎞⎛
                               ⎟⎜ x −
                                               5⎞
                                                  (
                                                ⎟ 10 x + 5 x + 4             )                  ⎛
                                                                                              20⎜ x −
                                                                                                        4 ⎞⎛      5⎞
                                                                                                                     (
                                                                                                          ⎟⎜ x − ⎟ 10 x + 5 x + 4              )
             ⎝               5 ⎠⎝              4⎠                                               ⎝       5 ⎠⎝      4⎠
= lim                                                                            = lim
  x→
     4
     5
                  ( 10 x ) − ( 5x + 4 )    2                    2
                                                                                     x→
                                                                                          4
                                                                                          5
                                                                                                             10 x − 5 x − 4

           20⎜ x − ⎟⎜ x − ⎟( 10 x + 5 x + 4 )                                                                        ( 10 x +                  )
             ⎛     4 ⎞⎛    5⎞                                                                   ⎛       4 ⎞⎛      5⎞
                                                                                              20⎜ x −     ⎟⎜ x − ⎟                    5x + 4
                ⎝  5       4     ⎠⎝              ⎠                                              ⎝       5 ⎠⎝      4⎠
= lim                                                                            = lim
  x→
       4                                       5x − 4                                x→
                                                                                          4                     ⎛        4⎞
       5                                                                                  5                    5⎜ x −     ⎟
                                                                                                                ⎝        5⎠


                                                                             25