Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

27
необходимо сначала использовать замену на эквивалентные бесконечно малые,
функции:
2
1~cos
2
α
α
− , а
()
2
2
2
2
1
~
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
==
αα
αα
tg
ctgctg
.
()()
[]
()
()
()
=−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−==
→→
∞
→
2
2
2
25
1
2
5
1
2
)5(
321lim
2
8
1lim18coslim
x
x
x
x
xctg
x
x
x
x
πππ
25
32
25
32
lim
2
2
−
−
==
→
ee
x
x
x
π
.
2.
В точках
0
1
=x
и
4
2
=
x
для функции )(
x
f
установить непрерыв-
ность или определить характер точек разрыва. Нарисовать график функ-
ции
)(
x
f
в окрестностях этих точек:
а)
22
5
)(
4
−
=
x
xf
.
Решение. При 0=
x
функция не существует.
Найдём пределы слева и справа.
0
22
5
lim
4
00
=
−
+→
x
x
и
5,2
22
5
lim
4
00
−=
−
−→
x
x
⇒
в точке
0
1
=x
разрыв первого рода, скачок функции на 2,5 единицы.
При 4=
x
функция тоже не существует.
−∞=
−
+→
22
5
lim
4
04
x
x
,
+∞=
−
−→
22
5
lim
4
04
x
x
⇒
в точке
4
2
=
x
разрыв второго рода.
График заданной функции в окрестностях точек
0
1
=x
и
4
2
=
x
имеет
вид (рис. 1).
Рис. 1
x
y
4
0
необходимо сначала использовать замену на эквивалентные бесконечно малые,
                                                                                 2          2
                                       α2                                  ⎛ 1 ⎞      ⎛1⎞
функции: cos α ~ 1 −                         , а ctg α = (ctgα )
                                                   2                2
                                                                        = ⎜⎜     ⎟⎟ ~ ⎜ ⎟ .
                                        2                                  ⎝ tgα ⎠    ⎝α ⎠
                                                                        1
                                                    ⎛ (8 x )
                                       [ ]                         ⎞ (5 x )2
                                                                                  (             )
                                                               2                                      1
lim (cos(8 x ))       ctg 2 (5 x )
                                      =1 ∞
                                             = lim ⎜1 −            ⎟         = lim 1 − 32 x 2       25 x 2   =
x →π                                           x →π ⎜    2         ⎟           x →π
                                                    ⎝              ⎠
            −32 x 2            32
     lim                   −
=e   x →π   25 x 2    =e       25 .


     2. В точках x1 = 0 и x 2 = 4 для функции f ( x) установить непрерыв-
ность или определить характер точек разрыва. Нарисовать график функ-
ции f ( x) в окрестностях этих точек:
                   5
     а) f ( x) = 4    .
                    2x − 2
            Решение. При x = 0 функция не существует.
                                                 5                                                             5
            Найдём пределы слева и справа. lim 4      = 0 и lim                                            4
                                                                                                                   = −2,5 ⇒
                                                               x →0 + 0                    x →0 − 0
                                            2x − 2               −2                                       2x
в точке x1 = 0 разрыв первого рода, скачок функции на 2,5 единицы.
      При x = 4 функция тоже не существует.
         5                  5
  lim 4       = −∞ , lim 4      = +∞ ⇒ в точке x 2 = 4 разрыв второго рода.
x →4 + 0                              x →4 −0
          −22x        2x − 2
      График заданной функции в окрестностях точек x1 = 0 и x 2 = 4 имеет
вид (рис. 1).

                                                         y



                                                              0     4                 x




                                                             Рис. 1




                                                               27

Страницы