Составители:
Рубрика:
28
б)
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+∞<<
≤≤−
<<∞−+
=
.4,5
,40,4
16
5
,0),4(25,1
)(
2
xеслих
хеслиx
xеслиx
xf
.
Решение. Функция
)(xf
определена на всей числовой оси и функция за-
дана тремя различными формулами. Имеются разрывы в точках
0
1
=x
и
4
2
=
x
.
Исследуем эти точки на непрерывность.
При
0
1
=x
:
()
540
16
5
)0(
2
=−=f ,
(
)
5425,1lim
00
=
+
−→
x
x
,
()
54
16
5
lim
2
00
=−
+→
x
x
.
Так как
(
)
⇒
=
=
+→−→
)(lim)(lim
00
1
11
xfxfxf
xxxx
функция
в точке
0
1
=
x
непрерывна.
При
4
2
=
x
:
()
044
16
5
)4(
2
=−=f ,
()
04
16
5
lim
2
04
=−
−→
x
x
,
205lim
04
=
+→
x
x
⇒
в точке
4
2
=
x
разрыв первого рода, функция совершает скачок на
20 единиц.
Рис. 2
График заданной функции в окрестностях точек
0
1
=x
и
4
2
=
x
имеет
вид (рис. 2).
3. Найдите производные функций:
а)
9
7
4
5
20
5
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++= x
x
y
.
Решение.
В данном случае производную от сложной функции находим по
формуле
(
)
uuu
′
⋅=
′
89
9.
=
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=
′
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=
′
20
5
20
5
920
5
7
4
5
8
7
4
5
9
7
4
5
x
x
x
x
x
x
y
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=
−
7
3
4
8
7
4
5
7
4
20
5
9 xxx
x
.
б)
7
3
3
1
17
ln
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
x
x
y
.
-4
4
5
20
0
x
y
⎧1,25( x + 4), если − ∞ < x < 0,
⎪5
⎪
б) f ( x) = ⎨ ( x − 4 )2 , если 0 ≤ х ≤ 4, .
⎪16
⎪⎩5 х, если 4 < x < +∞.
Решение. Функция f (x) определена на всей числовой оси и функция за-
дана тремя различными формулами. Имеются разрывы в точках x1 = 0 и x 2 = 4 .
Исследуем эти точки на непрерывность.
5 5
При x1 = 0 : f (0) = (0 − 4 )2 = 5 , lim 1,25( x + 4) = 5 , lim ( x − 4)2 = 5 .
16 x →0 − 0 x →0 + 0 16
Так как f ( x1 ) = lim f ( x) = lim f ( x ) ⇒ функция
y x → x1 − 0 x → x1 + 0
в точке x1 = 0 непрерывна.
20
5
При x2 = 4 : f (4) = (4 − 4)2 = 0 ,
16
5
5 lim (x − 4)2 = 0 , lim 5 x = 20 ⇒ в точке x 2 = 4
x → 4 − 0 16 x →4 + 0
x разрыв первого рода, функция совершает скачок на
-4 0 4
20 единиц.
Рис. 2
График заданной функции в окрестностях точек x1 = 0 и x 2 = 4 имеет
вид (рис. 2).
3. Найдите производные функций:
9
⎛ x5 7 4 ⎞
а) y = ⎜⎜ + x + 20 ⎟⎟ .
⎝ 5 ⎠
Решение. В данном случае производную от сложной функции находим по
( )′
формуле u 9 = 9u 8 ⋅ u ′ .
⎛⎛ x5 9 ⎞′ 8 ′
⎜ ⎞ ⎟ ⎛ x 5 ⎞ ⎛ x 5 ⎞
y ′ = ⎜ ⎜⎜ + x 4 + 20 ⎟⎟ ⎟ = 9⎜⎜
7
+ x 4 + 20 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
7
+ x 4 + 20 ⎟⎟ =
7
⎜⎝ 5 ⎠ ⎟⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠
⎝
8
⎞ ⎛⎜ 4 4 − 7 ⎞⎟
3
⎛ x5 7 4
= 9⎜⎜ + x + 20 ⎟⎟ ⋅ x + x .
5 ⎜ 7 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3
⎛ 7x − 1⎞ 7
б) y = ln⎜ 3 ⎟ .
⎝ x + 1⎠
28
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- …
- следующая ›
- последняя »
