Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

30
Решение. Дана показательно-степенная функция, для нахождения её про-
изводной можно использовать готовую формулу
(
)
uvuuvuu
vvv
ln
1
′
+
′
=
′
−
, где
x
u 7= , а
()
xtgv 7=
.
()
()
()
()()
()
() ()
()
()()()
=
′
+
′
⋅=
′
=
′
−
xxtgxxxxtgxy
xtgxtgxtg
7ln777777
7177
()()
()
()
()
()
() ()
=⋅
′
⋅⋅+⋅=
−
xx
x
xxxtg
xtgxtg
7ln7
7cos
1
7777
2
717
()()
()
()
()
(
)
()
()
()
(
)
()
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
⋅
+⋅=
−
x
x
x
xtg
x
x
xx
xxtg
xtg
xtg
xtg
7cos
7ln7
7
7
7cos
7ln77
777
2
7
2
7
17
.
д) 87
2
=−
+
x
y
yx
.
Решение.
Дана неявная функция 087
2
=−−
+
x
y
yx
, продифференцируем
её по переменной
x, рассматривая при этом переменную y как функцию x, и
полученное выражение затем разрешим относительно
y
′
.
087
2
′
=
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
+
x
y
yx
.
()
00
1
27ln7
2
2
=−
⋅
−
⋅
′
−
′
+⋅
+
x
yxy
yx
yx
.
()
0
1
27ln7
2
2
=
⋅
−
⋅
′
−
′
+⋅
+
x
yxy
y
yx
.
07ln77ln72
2
22
=+
′
−⋅
′
+⋅
++
x
y
x
y
y
yxyx
.
2
22
7ln72
1
7ln7
x
y
x
y
yxyx
−⋅−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
′
++
.
x
x
x
y
x
y
yx
yx
1
ln7
ln72
2
2
2
−
−⋅−
=
′
+
+
.
е)
()
⎩
⎨
⎧
++=
++=
.4914
,77ln
2
tty
ttx
Решение.
Дана функция в параметрическом виде, производную которой
находим по формуле
t
t
x
x
y
y
′
′
=
′
.
()
1424914
2
+=
′
++=
′
ttty
t
,
()()()
1
1
17
7
1
17
7
1
77ln +=+⋅=+
′
⋅=
′
++=
′
t
ttx
t
. 
           Решение. Дана показательно-степенная функция, для нахождения её про-

изводной можно использовать готовую формулу u                             ( )′
                                                                             v           v −1         v
                                                                                              = vu u ′ + u v′ ln u , где
u = 7 x , а v = tg (7 x ) .

      (             )   ′
 y ′ = (7 x )tg (7 x ) = tg (7 x ) ⋅ (7 x )tg (7 x )−1 (7 x )′ + (7 x )tg (7 x ) (tg (7 x ))′ ln(7 x ) =
                                                             1                 ′ ⋅ ln (7 x ) =
= 7tg (7 x ) ⋅ (7 x )tg (7 x )−1 + (7 x )tg (7 x ) ⋅                  ⋅ ( 7 x )
                                                         cos 2 (7 x )
                        tg (7 x )−1    (7 x )tg (7 x ) ⋅ 7 ln(7 x )            tg (7 x ) ⎛ tg (7 x ) 7 ln (7 x ) ⎞
= 7tg (7 x ) ⋅ (7 x )               +                               =   (7 x )           ⎜
                                                                                         ⎜ x + cos 2 (7 x ) ⎟ .
                                                                                                                 ⎟
                                              cos 2 (7 x )                               ⎝                       ⎠
                             y
         д) 7 2 x + y − = 8 .
                             x
                                                                                   y
         Решение. Дана неявная функция 7 2 x + y − − 8 = 0 , продифференцируем
                                                                                   x
её по переменной x, рассматривая при этом переменную y как функцию x, и
полученное выражение затем разрешим относительно y ′ .
                                     ′
         ⎛ 2 x+ y y                ⎞
         ⎜7           − − 8 ⎟ = 0′ .
         ⎝                x        ⎠
                                               y′ ⋅ x − y ⋅1
         7 2 x + y ln 7 ⋅ (2 x + y )′ −                  2
                                                                − 0 = 0.
                                                      x
                                              ′
                                            y ⋅ x − y ⋅1
         7 2 x + y ln 7 ⋅ (2 + y ′) −                         = 0.
                                                   x2
                                                            y′      y
         2 ⋅ 7 2 x + y ln 7 + y ′ ⋅ 7 2 x + y ln 7 − + 2 = 0 .
                                                            x x
             ⎛                      1⎞                                y
          y ′⎜ 7 2 x + y ln 7 − ⎟ = −2 ⋅ 7 2 x + y ln 7 − 2 .
             ⎝                      x⎠                               x
                                              y
                 − 2 ⋅ 7 2 x + y ln x − 2
          y′ =                               x .
                                          1
                       7 2 x + y ln x −
                                          x
              ⎧ x = ln (7t ) + t + 7,
         е) ⎨           2
              ⎩ y = t + 14t + 49.
         Решение. Дана функция в параметрическом виде, производную которой
                                             y′
находим по формуле y ′x = t .
                                             xt′
       (                  )    ′                                                       1
 y t′ = t 2 + 14t + 49 = 2t + 14 , xt′ = (ln(7t ) + t + 7 )′ = ⋅ (7t )′ + 1 = ⋅ 7 + 1 = + 1 .
                                                                                      7t
                                                                                                        1
                                                                                                        7t
                                                                                                                   1
                                                                                                                   t


                                                          30

Страницы