Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

32
6) Найдем асимптоты функции.
−∞=
−
→
2
3
0
4
lim
x
x
x
. Значит, вертикальная прямая x=0 - это вертикальная
асимптота графика функции.
Наклонная асимптота находится по формуле
bkxy
+
=
, где
()
1
4
1lim
4
1
lim
4
limlim
33
3
3
3
3
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∞
∞
=
−
==
±∞→±∞→±∞→±∞→
xx
x
x
x
x
x
xf
k
xxxx
, а
()()
0
4
lim
4
limlim
22
3
=
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=−=
±∞→±∞→±∞→
x
x
x
x
kxxfb
xxx
⇒
y=х – прямая, которая
служит горизонтальной асимптотой графика как при x
→-∞, так и при x→+∞.
7) Найдем критические точки:
3
3
8
)(
х
х
xf
+
=
′
⇒
08
3
=
+
x
⇒
х=-2.
Найдем интервалы монотонности (метод интервалов) и точки экстремума
функции.
Интервалы монотонности: на интервале
(
)( )
∞+∪
−
∞
−
;02;
функция воз-
растает; на интервале
()
0;2−
функция убывает.
При
х= -2- функция принимает максимальное значение
⇒
()
3;2
−
−
точка
максимума.
При
х=0 – экстремума нет, так как в этой точке функция не определена.
8) Исследуем функцию на вогнутость, выпуклость и перегиб.
Найдём вторую производную
()
4
24
x
xf −=
′′
.
Интервалы выпуклости, вогнутости: на интервале
()
(
)
∞
+
∪∞− ;00;
функция выпукла. Перегибов нет.
9) На рис.3 построена кривая, удовлетворяющая проведённому исследо-
ванию.
max
+
–
+
f
′
(
x)
-
0
–
–
f
′′
(
x)
0
      6) Найдем асимптоты функции.
           x3 − 4
      lim           = −∞ . Значит, вертикальная прямая x=0 - это вертикальная
      x →0 x 2
асимптота графика функции.
      Наклонная асимптота находится по формуле y = kx + b , где
                                                 ⎛      4 ⎞
                                             x 3 ⎜1 − 3 ⎟
          f (x )          3
                        x − 4 ⎡∞ ⎤               ⎝     x ⎠         ⎛   4 ⎞
k = lim          = lim        = ⎢ ⎥ = lim                   = lim ⎜1 − 3 ⎟ = 1 , а
   x → ±∞ x       x → ±∞ x  3
                                ⎣ ∞ ⎦ x → ±∞       x 3       x → ±∞⎝  x ⎠
                                 ⎛ x3 − 4     ⎞
b = lim ( f ( x ) − kx ) = lim ⎜⎜         − x ⎟ = lim − 4 = 0 ⇒ y=х – прямая, которая
   x → ±∞                 x → ±∞      2       ⎟ x → ±∞ x 2
                                 ⎝ x          ⎠
служит горизонтальной асимптотой графика как при x→-∞, так и при x→+∞.
                                                      х3 + 8
      7) Найдем критические точки: f ′( x) =              3
                                                             ⇒ x 3 + 8 = 0 ⇒ х=-2.
                                                        х
      Найдем интервалы монотонности (метод интервалов) и точки экстремума
функции.
                                 max
                             +            –            +   f ′(x)
                                     -2       0

      Интервалы монотонности: на интервале (− ∞; − 2 ) ∪ (0; + ∞ ) функция воз-
растает; на интервале (− 2; 0 ) функция убывает.
      При х= -2- функция принимает максимальное значение ⇒ (− 2; − 3) точка
максимума.
      При х=0 – экстремума нет, так как в этой точке функция не определена.
      8) Исследуем функцию на вогнутость, выпуклость и перегиб.
                                              24
      Найдём вторую производную f ′′( x ) = − 4 .
                                              x

                                 –                 –       f ′′(x)
                                          0

     Интервалы выпуклости, вогнутости: на интервале (− ∞; 0 ) ∪ (0; + ∞ )
функция выпукла. Перегибов нет.
     9) На рис.3 построена кривая, удовлетворяющая проведённому исследо-
ванию.




                                              32

Страницы