Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

31
(
)
1
142
1
142
1
142
1
1
142
2
+
+
=
+
+⋅
=
+
+
=
+
+
=
′
′
=
′
t
tt
t
tt
t
t
t
t
t
x
y
y
t
t
x
.
4. С помощью методов дифференциального исчисления построить
график функции
2
3
4
x
x
y
−
=
.
Решение.
1) Области определения функции не принадлежит только точка х=0:
D(f)=(-
∞;0)∪(0;+∞).
2)
()
()
2
3
2
3
2
3
444
)(
x
x
x
x
x
x
xf
+
−=
−−
=
−
−−
=−
⇒ функция общего вида (не чётная и
не нечётная).
Функция не периодична потому, что её область определения не имеет периоди-
ческой структуры.
3) Исследуем поведение функции при
±
∞→
x
.
±∞=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∞
∞
=
−
±∞→±∞→±∞→
x
x
x
x
x
x
x
xxx
4
1lim
4
1
lim
4
lim
2
3
2
3
.
4) Исследуем функцию в окрестности точки
х=0.
Левосторонний предел
−∞=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
−
−→
0
44
lim
2
3
00
x
x
x
.
Правосторонний предел равен
−∞=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
−
+→
0
44
lim
2
3
00
x
x
x
⇒
в точке 0
=
x
раз-
рыв второго рода.
5) Найдём точки пересечения графика с осями координат.
С осью O
x: у=0,
(
)
0
4
2
3
=
−
x
x
⇒ 04
3
x
, 6,14
3
≈=x
⇒
точка
(
)
0;4
3
.
С осью O
y: при х=0 функция не существует⇒ точек пересечения с осью Oy
нет.
Пользуясь методом интервалов (известным из школьной программы), оп-
ределим знак функции на интервалах между корнями и точками разрыва. Таких
интервалов получается три: (-
∞; 0);(0;
3
4
);(
3
4
;+∞) .
Интервалы знакопостоянства функции.
–
–
+
x
0
3
4
       y t′ 2t + 14 2t + 14 t ⋅ (2t + 14 ) 2t 2 + 14t
y ′x =     =       =       =              =
       xt′   1       1+ t        1+ t         t +1 .
               +1
             t         t
      4. С помощью методов дифференциального исчисления построить
                              x3 − 4
график функции y =                    .
                                x2
      Решение.
1) Области определения функции не принадлежит только точка х=0:
      D(f)=(-∞;0)∪(0;+∞).

2) f (− x) =
             (− x )3 − 4 − x 3 − 4
                            =             =−
                                               x3 + 4
                                                        ⇒ функция общего вида (не чётная и
                (− x )2          x2               x2
не нечётная).
Функция не периодична потому, что её область определения не имеет периоди-
ческой структуры.
3) Исследуем поведение функции при x → ±∞ .
                                       ⎛     4⎞
        3                        x 3 ⋅ ⎜1 − ⎟
      x − 4 ⎡∞ ⎤                       ⎝     x⎠               ⎛     4⎞
 lim           =        =   lim
                 ⎢⎣ ∞ ⎥⎦ x →±∞                    =  lim  x ⋅ ⎜ 1 −  ⎟ = ±∞ .
x → ±∞ x 2                              x2          x →±∞     ⎝     x⎠
4) Исследуем функцию в окрестности точки х=0.
                                      x3 − 4 ⎡− 4⎤
Левосторонний предел lim                       = ⎢ ⎥ = −∞ .
                              x →0 − 0 x 2        ⎣+ 0⎦
                                                   x3 − 4 ⎡− 4⎤
Правосторонний предел равен lim                           = ⎢ ⎥ = −∞ ⇒ в точке x = 0 раз-
                                          x →0 + 0 x 2       ⎣+ 0⎦
рыв второго рода.
5) Найдём точки пересечения графика с осями координат.

С осью Ox: у=0,
                  (       )
                       x3 − 4
                                                                       (     )
                                = 0 ⇒ x 3 − 4 = 0 , x = 3 4 ≈ 1,6 ⇒ точка 3 4 ; 0 .
                           2
                         x
С осью Oy: при х=0 функция не существует ⇒ точек пересечения с осью Oy
нет.
      Пользуясь методом интервалов (известным из школьной программы), оп-
ределим знак функции на интервалах между корнями и точками разрыва. Таких
интервалов получается три: (-∞; 0);(0; 3 4 );( 3 4 ;+∞) .

                              –        –            +
                                            3
                                                        x
                                  0             4

                      Интервалы знакопостоянства функции.


                                           31

Страницы