Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

34
в)
()
() ()
∫∫∫
=−=−⋅=
−=
−
=
′
−⋅
−
−
=−
=
−
−
dttdtt
dt
x
dx
dtdxx
x
txctg
dx
x
xctg
33
2
22
3
)2(sin
2
)2(sin
1
2
)2(sin
)2(
C
xctg
C
t
+
−
−=+−=
4
)2(
4
4
4
.
г) При вычислении интеграла используем формулу интегрирования по
частям
∫∫
−= vduuvudv .
()
()
()
=
−=⇒=
=⇒−=
=⋅−
∫
3
3cos
3sin
)3(
)3sin(3
x
vdvdxx
dxduxu
dxxx
()
()
(
)
() ()
∫∫
=+
−
−=−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅−= dxxx
x
dx
xx
x 3cos
3
1
3cos
3
3
3
3cos
3
3cos
3
() ()
Cxx
x
++
−
−= 3sin
9
1
3cos
3
3
.
д)
() ()
()
∫∫∫∫
=
+
+
=
+
++
=
=
+=
=
−
=
+−
+
=
+−
+
dt
t
t
dt
t
t
dtdx
tx
tx
x
dxx
xx
dxx
6
8
6
71
1
1
61
7
72
7
2222
++−=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=
+
+
+
=
∫∫
72ln
2
1
66
8
6ln
2
1
6
8
6
22
22
xxC
t
arctgt
t
dt
t
tdt
C
x
arctg +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
6
1
6
8
,
где
∫∫∫
++=+===
=
=
=+
=
+
CtCa
a
da
a
da
da
tdt
datdt
at
t
tdt
6ln
2
1
ln
2
1
2
1
2
2
2
6
6
2
2
2
.
е)
()
()
∫∫∫∫
=
−
=
=
=
+
=
+−
=
+−
=
−−
2222
7
1
17
2626 t
dt
dtdx
tx
x
dx
xx
dx
xx
dx
C
x
C
t
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
7
1
arcsin
7
arcsin . 
                              ctg ( x − 2) = t
          ctg 3 ( x − 2)                1                 ′ dx = dt = t 3 ⋅ (− dt ) = − t 3 dt =
в)
     ∫    sin 2 ( x − 2)
                         dx = −
                                sin 2 ( x − 2)
                                               ⋅ ( x − 2 )                             ∫                     ∫
                                    dx
                                             = −dt
                              sin 2 ( x − 2)
  t4        ctg 4 ( x − 2)
=− +C=−                    +C.
   4               4
     г) При вычислении интеграла используем формулу интегрирования по
частям
               ∫ udv = uv − ∫ vdu .
                                      u = ( x − 3) ⇒ du = dx
∫ (x − 3) ⋅ sin(3x)dx = sin(3x)dx = dv ⇒ v = − cos(3x) =
                                                                               3
             ⎛ cos(3 x ) ⎞       cos(3x )       x−3            1
= ( x − 3) ⋅ ⎜ −
             ⎝     3 ⎠
                         ⎟− −
                                    3         ∫
                                         dx = −
                                                  3
                                                    cos(3x ) +
                                                               3
                                                                 cos(3x )dx =
                                                                                                ∫
      x−3              1
=−           cos(3x ) + sin (3x ) + C .
       3               9
                                          x −1= t
       (x + 7 )dx = (x + 7 )dx = x = t + 1 = t + 1 + 7 dt = t + 8 dt =
д)
     ∫x 2 − 2x + 7                ∫
                         (x − 1)2 + 6 dx = dt        t2 + 6        t2 + 6  ∫                        ∫
           tdt                   dt           1              8        ⎛ t ⎞      1
=
     ∫t   2
              +6
                   +8
                        ∫t   2
                                 +6
                                          =
                                              2
                                                ln t 2 + 6 +
                                                              6
                                                                arctg ⎜
                                                                      ⎝ 6⎠
                                                                          ⎟ + C = ln x 2 − 2 x + 7 +
                                                                                 2
     8        ⎛ x − 1⎞
+       arctg ⎜      ⎟+C,
      6       ⎝ 6 ⎠

                          t2 + 6 = a                  da
                 tdt                                   2 =1       da 1          1
где
          ∫t   2
                   +6
                        = 2tdt = da =
                                da
                                                  ∫    a  2   ∫     = ln a + C = ln t 2 + 6 + C .
                                                                  a 2           2
                          tdt =
                                 2

                   dx                             dx                        dx                 x +1= t           dt
е)
     ∫        6 − 2x − x     2
                                 =
                                      ∫       6 − (x + 2 x )
                                                      2      ∫=
                                                                        7 − ( x + 1)   2
                                                                                           =
                                                                                               dx = dt
                                                                                                         =
                                                                                                             ∫   7−t   2
                                                                                                                           =

        ⎛ t ⎞             ⎛ x + 1⎞
= arcsin⎜   ⎟ + C = arcsin⎜      ⎟+C.
        ⎝ 7⎠              ⎝ 7 ⎠


                                                                   34

Страницы